盘点数学中的“空间”

大学数学之后,会遇到各种各样的“空间”定义。 什么是一个“空间”呢?“空间”就是带有某种结构的集合。

我们列举一些常见的空间。

大学数学之后,会遇到各种各样的“空间”定义,例如,线性空间,拓扑空间,赋范空间,内积空间,希尔伯特空间,巴拿赫空间,索伯列夫空间……

那么什么是一个“空间”呢?其实没有哪个教材对“空间”这一个词有 一个明确的定义。

一般认为,“空间”就是带有某种结构的集合。

我们现在来看看有哪些常见的“空间”。

1,线性空间:线性空间就是在集合上定义了加法和数乘两个运算,并且集合对这两个运算封闭。其中加法满足交换律和结合律,数乘满足结合律与分配律。另外集合中存在零元和幺元。具体的定义可参考任何一本线性代数的书。

线性空间也许是进入大学以后接触到的第一个空间的定义。

2,拓扑空间:在一个集合上定义了一个拓扑结构,这个集合连同这个拓扑结构就被称之为一个拓扑空间。

一个集合上的拓扑是指它的一个子集的集合,满足:集合本身和空集在这个集合中;任何多个元素的并与有限个元素的交都在这个集合中。

这样的集合与它上面的给出的一个拓扑称之为拓扑空间。一个集合可以给出不同的拓扑结构,从而构成不同的拓扑空间。

3,距离空间(度量空间):在集合中定义一个距离或者度量,就构成了一个距离(度量)空间。

集合上的距离满足三个条件:非负性;对称性;三角不等式。

任何一本泛函分析的教材都有距离空间的定义。

4,欧氏空间:我们接触得最多的空间。就是在集合上定义了欧氏距离的距离空间。欧氏距离定义为\[d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\]

这个空间我们在中学就在用了,我们日常所处的空间就是三维欧氏空间。

5,赋范空间:在集合上定义一个范数,此集合连同上面定义的范数就成为一个赋范空间。由范数可以导出集合上的距离,所以赋范空间也是距离空间。

范数与距离的不同之处在于,我们可以对集合上的一个元素定义范数 \(\|x\|\),它大致上相当于向量的长度。但是对于距离空间,没有这样的定义 \(d(x)\)。距离是针对两个点来定义的,虽然我们也有 \(d(x,x)=0\) 这样的性质。

6,巴拿赫(Banach)空间:巴拿赫空间是完备的赋范空间,所以它本身肯定是一个赋范空间。

所谓完备的,意思就是说若 \(x_n\in X\),及 \(\lim_{n\to \infty}x_n=x\),那么一定有 \(x\in X\)。也就是说,一个巴拿赫空间的收敛点列,其极限也在这个空间中。

7,内积空间:在一个集合上定义一个双线性形式,就形成一个内积空间。所谓的双线性形式,就是对两个元素都是线性的(加法和数乘)。

\[<x+y,z>=<x,z>+<y,z>,\quad <x,y+z>=<x,y>+<x,z>\]

\[<ax,y>=a<x,y>=<x,ay>\]

由内积可以导出集合上的范数,所以内积空间也是赋范空间。

8,希尔伯特(Hilbert)空间:完备的内积空间称为希尔伯特空间。同样,完备的意思就是集合上收敛的点列,它的极限也在这个集合当中。

距离空间,赋范空间,巴拿赫空间,内积空间,希尔伯特空间,这几个空间是泛函数分析的基本研究对象。

9,仿射空间(affine space):仿射空间是一个几何概念。粗略的说法,仿射空间就是没有原点的欧氏空间。在它上面没有距离、长度和角度的概念。但是两点相减可以得到一个向量。

任何一个线性空间是仿射空间。

它的严格定义可以参考仿射几何的教材。

10,射影空间(projective spaces):射影空间是一个把”平行直线相交于无穷远处”的描述进行形式化定义的几何对象。在仿射空间中定义一个“无穷远”的点,就形成了射影空间。

或者另外一个直观的定义是:\(n+1\) 维中的所有一维线性子空间的集合,称为 \(n\) 维射影空间。

11,测度空间:在一个集合上定义一个测度,称形成一个测度空间。一个集合上的测度满足两个条件:空集的测度为 \(0\);不相交的集合的并的测度,等于各个集合的测度之和。

很多实变函数的教材的用的这个定义,但是也有很多教材是从勒贝格外测度开始引入可测和测度。但事实上,勒贝格测度也满足这两个条件。当然除了勒贝格测度以外,还有别的测度。

12,概率空间:现代概率论里,概率空间就是一个全空间测度为 \(1\) 的测度空间。

在概率空间里,任何多个概率空间族的积空间仍然是概率空间。这是与测度空间不同的地方。在测度空间里,只有有限个测度空间的积空间仍然是一个测度空间。

13,\(L^p\) 空间:这是在实变函数里就遇到的空间。若

\[\int_a^b|f(x)|^pdx<\infty\]

我们\([a,b]\) 上满足这个条件的所有可测函数的集合为 \(L^p\) 空间。

\(L^P\) 空间是一个函数空间,也是现代数学里最基本的一个函数空间。

在本科阶段,大致上就是这些空间的定义,有些空间可能有的同学都不会遇到。研究生阶段的空间的定义会更多。当然,还有更多的数学空间的定义,我们就不列出来了。例如,索伯列夫(Sobolev)空间,洛伦兹(Lorentz)空间,豪斯道夫(Hausdorff)空间,哈代(Hardy)空间,等等。这些空间都有自身的空间结构。我们不展开叙述了。

盘点数学中的各种收敛:收敛、逐点收敛、一致收敛、条件收敛、绝对收敛、强收敛、弱收敛……

各种各样的收敛概念,你了解多少?收敛、逐点收敛、一致收敛、条件收敛、绝对收敛、强收敛、弱收敛、依范数收敛,依测度收敛、依概率收敛……

如今网络兴起各种各样的盘点,我也来赶一下时髦,盘点一下数学里的各种相关的概念。这一篇我们来盘点一下大学数学之后的各种收敛性的概念。当然我们主要侧重于大学阶段的内容,研究生阶段的概念我们不多涉及。

大学数学从微积分开始,就会遇到各种各样的收敛性概念,例如逐点收敛与一致收敛,条件收敛与绝对收敛,强收敛与弱收敛,还有依距离收敛,依范数收敛,依概率收敛,依测度收敛等等等等。我们来简单地叙述这些概念。

1,收敛,意思就是极限存在。函数极限的直观定义是:当 \(x\) 无限趋近于 \(a\) 时,函数 \(f(x)\) 无限接近于常数 \(A\),我们就说 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x\to a\) 时的极限。或者说当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时,函数 \(f(x)\) 的极限是 \(A\) 或者函数 \(f(x)\) 收敛于 \(A\)。

自从柯西给出了极限的严格定义后,极限的定义都采用了 \(\epsilon-\delta \) 语言来定义:

对所有的 \(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时, \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称当 \(x\) 趋于 \(a\) 时, \(f(x)\) 收敛于 \(A\)。记为

\[\lim_{x\to a}f(x)=A\]

之后基本上所有的收敛性概念都有类似于这样的叙述。

2,绝对收敛和条件收敛主要是针对级数而言。若极限

\[\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n|a_n|\]

存在,或者说绝对值级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\) 收敛,我们就说级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 绝对收敛。

若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\) 发散,而 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛,我们就说级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 条件收敛。

所谓发散,就是极限不存在。这是跟收敛相对的概念。

3,逐点收敛与一致收敛。这主要是对于函数列或者函数项级数而言。因为任何一个函数项级数都与一个函数列相对应,我们只对于函数列来叙述这两概念。

跟绝对收敛与条件收敛不同,逐点收敛与一致收敛之间的判断要困难得到多,也精细许多。绝对收敛是绝对值级数收敛,条件收敛是绝对值级数发散但本身收敛。

逐点收敛,是指对于任何一个 \(x\),函数列

\[\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\]

这里的 \(x\) 固定,极限过程是 \(n\to \infty\)。也就是每次在 \(x\) 固定的时候,\(f_n(x)\) 的极限都是 \(f(x)\)。

但是要区分逐点收敛与一致收敛,这样的定义还不够,我们需要使用 \(\epsilon-\delta\) 语言。

我们来给出逐点收敛和一致收敛的严格定义。

逐点收敛:对所有的 \(x\in D\) (\(D\) 是函数列 \(\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\)的定义域),对任意给定的 \(\epsilon>0\),存在 \(N(x,\epsilon)>0\),当 \(n>N(x,\epsilon)\) 时, \(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\) 成立,我们就说函数列 \(\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\) 逐点收敛于 \(f(x)\)。

注意到这里 \(N\) 依赖于 \(x\) 和 \(\epsilon\),也就是说,不同 \(x\),\(N\) 可能取不同的值,相差也许很大。

但一致收敛不一样,

一致收敛:对所有的 \(x\in D\) ,对于任意给定的 \(\epsilon>0\),存在 \(N(\epsilon)>0\),当 \(n>N(\epsilon)\) 时, \(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\) 成立,我们就说函数列 \(\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\) 一致收敛于 \(f(x)\)。

这里显然的区别就是,一致收敛的 \(N\),不依赖于 \(x\) 的位置,就是不管 \(x\) 在什么地方,都可以用同一个 \(N\) 来确定。

这里我不举例来说明了,任何一本数学分析的教材应该都有详细的例子。

一致收敛一定逐点收敛,逐点收敛不一定一致收敛。也就是说,一致收敛的条件要更强,而逐点收敛的条件要更弱。

4,强收敛、弱收敛与弱*收敛。

强收敛与弱收敛是泛函分析中的概念。

强收敛:在赋范空间中,如果 \[\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0\]我们称点列 \(\{x_n\}\) 强收敛于 \(x\),这里 \(\|\cdot\|\) 的赋范空间的范数。强收敛也称为依范数收敛。

也就是说,强收敛是在范数的意义下的收敛。

弱收敛:如果对于任意的 \(f\in X^*\),有 \[\lim_{n\to\infty }\|f(x_n)-f(x)\|=0\]我们称点列 \(\{x_n\}\in X\) 弱收敛于 \(x\)。这里 \(X^*\) 是赋范空间 \(X\) 的对偶空间,就是由 \(X\) 上的所有泛函所组成的赋范空间。

所谓泛函,简单地说,就是函数的函数。它的定义域是线性空间,值域是数。就是将线性空间中的每一个元素变成一个数。泛函是算子的一种特殊形式,这个概念我们另外发文说明。

弱*收敛:将弱收敛反过来看,就是弱*收敛。

如果对于任意的 \(x\in X\),有 \[\lim_{n\to\infty }\|f_n(x)-f(x)\|=0\]我们称点列 \(\{f_n\}\in X^*\) 弱*收敛于 \(f\)。

强收敛一定弱收敛,弱收敛不一定强收敛。弱收敛与弱*收敛可能一致,可能不一致,也没有谁更强,谁更弱。如果 \(X\) 是自反空间,那么弱收敛与弱*收敛是一致的。

所谓自反空间,就是 \(X**=X\),也就是说,\(X\) 是它的对偶空间 \(X*\) 的对偶空间。希尔伯特空间都是对偶空间。

5,依距离收敛:若距离空间 \(X,d\) 中的点列 \(\{x_n\}\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0\]

我们就说 \(\{x_n\}\) 依距离收敛于 \(x\),或者直接说 \(x_n\) 收敛于 \(x\)。因为所有的收敛概念,都是在某种距离的意义下的收敛。或者说,有了距离的概念,才有了收敛的概念。

6,依范数收敛:就是依赋范空间的范数收敛

点列:\[\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0\]称 \(x_n\in X\) 依范数收敛于 \(x\in X\)。它与点列的强收敛是同一个意思。

泛函:\[\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|=0\]称 \(f_n\in X*\) 依范数收敛于 \(f\in X*\)。它是对偶空间里的强收敛。

算子:\[\lim_{n\to\infty}\|T_n-T\|=0\]称 \(T_n\in B(X,Y)\) 依范数收敛于 \(x\in B(X,Y)\)。其中 \(B(X,Y)\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的所有算子所组成的赋范空间。

需要注意的是,算子的依范数收敛,也称为算子的一致收敛。

算子的强收敛是指对任意 \(x\in X\),\[\lim_{n\to\infty}\|T_n(x)-T(x)\|=0\] 所以对于强收敛或者一致收敛,我们要指明是哪个空间上的收敛。

7,依测度收敛与依概率收敛:

依测度收敛与几乎处处收敛是实变函数、实分析或者测试论里的概念。依概率收敛是概率论里的概念。但事实上,它们的定义几乎就是一样的。

依测度收敛:我们说一个可测函数列 \(f_n\in X\) 依测度收敛于 \(f\in X\) 是指对于任意的 \(\epsilon>0\) \[\lim_{n\to\infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0\]

这里 \(\mu\) 是定义在 \(X\) 上的一个测度。

依概率收敛:如果对于任意对于任意的 \(\epsilon>0\),随机变量序列 \(X_n\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\geq \epsilon)=0\]

我们称随机变量序列 \(X_n\) 依概率收敛于随机变量 \(X\)。

如果将概率看成测度,那么依概率收敛就是一种依测度收敛。

8,几乎处处收敛:

这是实变函数或者实分析中的概念。“几乎处处”是指除去一个零测集外,每一个点处满足的概念。

我们说一个函数列 \(\{f_n\}\) 几乎处处收敛于 \(f\),是指

\[\mu(\{x:\lim_{n\to \infty}(f_n(x)-f(x))\ne 0\})=0\]

换句话说,就是函数列 \(f_n\) 不收敛于 \(f\) 的所有的点的集合,测度为 \(0\)。

9,结语:一般来说,分析学各课程,都少不了各种各样的收敛概念,因为收敛性这一概念是分析学科的基础。有了这些基础,才能更一步理解后续的内容。