分类： 数学科普

大学数学之后，会遇到各种各样的“空间”定义，例如，线性空间，拓扑空间，赋范空间，内积空间，希尔伯特空间，巴拿赫空间，索伯列夫空间……

那么什么是一个“空间”呢？其实没有哪个教材对“空间”这一个词有 一个明确的定义。

一般认为，“空间”就是带有某种结构的集合。

我们现在来看看有哪些常见的“空间”。

1，线性空间：线性空间就是在集合上定义了加法和数乘两个运算，并且集合对这两个运算封闭。其中加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律与分配律。另外集合中存在零元和幺元。具体的定义可参考任何一本线性代数的书。

线性空间也许是进入大学以后接触到的第一个空间的定义。

2，拓扑空间：在一个集合上定义了一个拓扑结构，这个集合连同这个拓扑结构就被称之为一个拓扑空间。

一个集合上的拓扑是指它的一个子集的集合，满足：集合本身和空集在这个集合中；任何多个元素的并与有限个元素的交都在这个集合中。

这样的集合与它上面的给出的一个拓扑称之为拓扑空间。一个集合可以给出不同的拓扑结构，从而构成不同的拓扑空间。

3，距离空间（度量空间）：在集合中定义一个距离或者度量，就构成了一个距离（度量）空间。

集合上的距离满足三个条件：非负性；对称性；三角不等式。

任何一本泛函分析的教材都有距离空间的定义。

4，欧氏空间：我们接触得最多的空间。就是在集合上定义了欧氏距离的距离空间。欧氏距离定义为\[d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\]

这个空间我们在中学就在用了，我们日常所处的空间就是三维欧氏空间。

5，赋范空间：在集合上定义一个范数，此集合连同上面定义的范数就成为一个赋范空间。由范数可以导出集合上的距离，所以赋范空间也是距离空间。

范数与距离的不同之处在于，我们可以对集合上的一个元素定义范数 \(\|x\|\)，它大致上相当于向量的长度。但是对于距离空间，没有这样的定义 \(d(x)\)。距离是针对两个点来定义的，虽然我们也有 \(d(x,x)=0\) 这样的性质。

6，巴拿赫（Banach）空间：巴拿赫空间是完备的赋范空间，所以它本身肯定是一个赋范空间。

所谓完备的，意思就是说若 \(x_n\in X\)，及 \(\lim_{n\to \infty}x_n=x\)，那么一定有 \(x\in X\)。也就是说，一个巴拿赫空间的收敛点列，其极限也在这个空间中。

7，内积空间：在一个集合上定义一个双线性形式，就形成一个内积空间。所谓的双线性形式，就是对两个元素都是线性的（加法和数乘）。

\[<x+y,z>=<x,z>+<y,z>,\quad <x,y+z>=<x,y>+<x,z>\]

\[<ax,y>=a<x,y>=<x,ay>\]

由内积可以导出集合上的范数，所以内积空间也是赋范空间。

8，希尔伯特（Hilbert）空间：完备的内积空间称为希尔伯特空间。同样，完备的意思就是集合上收敛的点列，它的极限也在这个集合当中。

距离空间，赋范空间，巴拿赫空间，内积空间，希尔伯特空间，这几个空间是泛函数分析的基本研究对象。

9，仿射空间（affine space）：仿射空间是一个几何概念。粗略的说法，仿射空间就是没有原点的欧氏空间。在它上面没有距离、长度和角度的概念。但是两点相减可以得到一个向量。

任何一个线性空间是仿射空间。

它的严格定义可以参考仿射几何的教材。

10，射影空间（projective spaces）：射影空间是一个把”平行直线相交于无穷远处”的描述进行形式化定义的几何对象。在仿射空间中定义一个“无穷远”的点，就形成了射影空间。

或者另外一个直观的定义是：\(n+1\) 维中的所有一维线性子空间的集合，称为 \(n\) 维射影空间。

11，测度空间：在一个集合上定义一个测度，称形成一个测度空间。一个集合上的测度满足两个条件：空集的测度为 \(0\)；不相交的集合的并的测度，等于各个集合的测度之和。

很多实变函数的教材的用的这个定义，但是也有很多教材是从勒贝格外测度开始引入可测和测度。但事实上，勒贝格测度也满足这两个条件。当然除了勒贝格测度以外，还有别的测度。

12，概率空间：现代概率论里，概率空间就是一个全空间测度为 \(1\) 的测度空间。

在概率空间里，任何多个概率空间族的积空间仍然是概率空间。这是与测度空间不同的地方。在测度空间里，只有有限个测度空间的积空间仍然是一个测度空间。

13，\(L^p\) 空间：这是在实变函数里就遇到的空间。若

\[\int_a^b|f(x)|^pdx<\infty\]

我们\([a,b]\) 上满足这个条件的所有可测函数的集合为 \(L^p\) 空间。

\(L^P\) 空间是一个函数空间，也是现代数学里最基本的一个函数空间。

在本科阶段，大致上就是这些空间的定义，有些空间可能有的同学都不会遇到。研究生阶段的空间的定义会更多。当然，还有更多的数学空间的定义，我们就不列出来了。例如，索伯列夫（Sobolev）空间，洛伦兹（Lorentz）空间，豪斯道夫（Hausdorff）空间，哈代（Hardy）空间，等等。这些空间都有自身的空间结构。我们不展开叙述了。

如今网络兴起各种各样的盘点，我也来赶一下时髦，盘点一下数学里的各种相关的概念。这一篇我们来盘点一下大学数学之后的各种收敛性的概念。当然我们主要侧重于大学阶段的内容，研究生阶段的概念我们不多涉及。

大学数学从微积分开始，就会遇到各种各样的收敛性概念，例如逐点收敛与一致收敛，条件收敛与绝对收敛，强收敛与弱收敛，还有依距离收敛，依范数收敛，依概率收敛，依测度收敛等等等等。我们来简单地叙述这些概念。

1，收敛，意思就是极限存在。函数极限的直观定义是：当 \(x\) 无限趋近于 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 无限接近于常数 \(A\)，我们就说 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x\to a\) 时的极限。或者说当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时，函数 \(f(x)\) 的极限是 \(A\) 或者函数 \(f(x)\) 收敛于 \(A\)。

自从柯西给出了极限的严格定义后，极限的定义都采用了 \(\epsilon-\delta \) 语言来定义：

对所有的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时， \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立，我们称当 \(x\) 趋于 \(a\) 时， \(f(x)\) 收敛于 \(A\)。记为

\[\lim_{x\to a}f(x)=A\]

之后基本上所有的收敛性概念都有类似于这样的叙述。

2，绝对收敛和条件收敛主要是针对级数而言。若极限

\[\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n|a_n|\]

存在，或者说绝对值级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\) 收敛，我们就说级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 绝对收敛。

若\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\) 发散，而 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛，我们就说级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 条件收敛。

所谓发散，就是极限不存在。这是跟收敛相对的概念。

3，逐点收敛与一致收敛。这主要是对于函数列或者函数项级数而言。因为任何一个函数项级数都与一个函数列相对应，我们只对于函数列来叙述这两概念。

跟绝对收敛与条件收敛不同，逐点收敛与一致收敛之间的判断要困难得到多，也精细许多。绝对收敛是绝对值级数收敛，条件收敛是绝对值级数发散但本身收敛。

逐点收敛，是指对于任何一个 \(x\)，函数列

\[\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\]

这里的 \(x\) 固定，极限过程是 \(n\to \infty\)。也就是每次在 \(x\) 固定的时候，\(f_n(x)\) 的极限都是 \(f(x)\)。

但是要区分逐点收敛与一致收敛，这样的定义还不够，我们需要使用 \(\epsilon-\delta\) 语言。

我们来给出逐点收敛和一致收敛的严格定义。

逐点收敛：对所有的 \(x\in D\) （\(D\) 是函数列 \(\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\)的定义域），对任意给定的 \(\epsilon>0\)，存在 \(N(x,\epsilon)>0\)，当 \(n>N(x,\epsilon)\) 时， \(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\) 成立，我们就说函数列 \(\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\) 逐点收敛于 \(f(x)\)。

注意到这里 \(N\) 依赖于 \(x\) 和 \(\epsilon\)，也就是说，不同 \(x\)，\(N\) 可能取不同的值，相差也许很大。

但一致收敛不一样，

一致收敛：对所有的 \(x\in D\) ，对于任意给定的 \(\epsilon>0\)，存在 \(N(\epsilon)>0\)，当 \(n>N(\epsilon)\) 时， \(|f_n(x)-f(x)|<\epsilon\) 成立，我们就说函数列 \(\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\) 一致收敛于 \(f(x)\)。

这里显然的区别就是，一致收敛的 \(N\)，不依赖于 \(x\) 的位置，就是不管 \(x\) 在什么地方，都可以用同一个 \(N\) 来确定。

这里我不举例来说明了，任何一本数学分析的教材应该都有详细的例子。

一致收敛一定逐点收敛，逐点收敛不一定一致收敛。也就是说，一致收敛的条件要更强，而逐点收敛的条件要更弱。

4，强收敛、弱收敛与弱*收敛。

强收敛与弱收敛是泛函分析中的概念。

强收敛：在赋范空间中，如果 \[\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0\]我们称点列 \(\{x_n\}\) 强收敛于 \(x\)，这里 \(\|\cdot\|\) 的赋范空间的范数。强收敛也称为依范数收敛。

也就是说，强收敛是在范数的意义下的收敛。

弱收敛：如果对于任意的 \(f\in X^*\)，有 \[\lim_{n\to\infty }\|f(x_n)-f(x)\|=0\]我们称点列 \(\{x_n\}\in X\) 弱收敛于 \(x\)。这里 \(X^*\) 是赋范空间 \(X\) 的对偶空间，就是由 \(X\) 上的所有泛函所组成的赋范空间。

所谓泛函，简单地说，就是函数的函数。它的定义域是线性空间，值域是数。就是将线性空间中的每一个元素变成一个数。泛函是算子的一种特殊形式，这个概念我们另外发文说明。

弱*收敛：将弱收敛反过来看，就是弱*收敛。

如果对于任意的 \(x\in X\)，有 \[\lim_{n\to\infty }\|f_n(x)-f(x)\|=0\]我们称点列 \(\{f_n\}\in X^*\) 弱*收敛于 \(f\)。

强收敛一定弱收敛，弱收敛不一定强收敛。弱收敛与弱*收敛可能一致，可能不一致，也没有谁更强，谁更弱。如果 \(X\) 是自反空间，那么弱收敛与弱*收敛是一致的。

所谓自反空间，就是 \(X**=X\)，也就是说，\(X\) 是它的对偶空间 \(X*\) 的对偶空间。希尔伯特空间都是对偶空间。

5，依距离收敛：若距离空间 \(X,d\) 中的点列 \(\{x_n\}\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0\]

我们就说 \(\{x_n\}\) 依距离收敛于 \(x\)，或者直接说 \(x_n\) 收敛于 \(x\)。因为所有的收敛概念，都是在某种距离的意义下的收敛。或者说，有了距离的概念，才有了收敛的概念。

6，依范数收敛：就是依赋范空间的范数收敛

点列：\[\lim_{n\to\infty}\|x_n-x\|=0\]称 \(x_n\in X\) 依范数收敛于 \(x\in X\)。它与点列的强收敛是同一个意思。

泛函：\[\lim_{n\to\infty}\|f_n-f\|=0\]称 \(f_n\in X*\) 依范数收敛于 \(f\in X*\)。它是对偶空间里的强收敛。

算子：\[\lim_{n\to\infty}\|T_n-T\|=0\]称 \(T_n\in B(X,Y)\) 依范数收敛于 \(x\in B(X,Y)\)。其中 \(B(X,Y)\) 是 \(X\) 到 \(Y\) 的所有算子所组成的赋范空间。

需要注意的是，算子的依范数收敛，也称为算子的一致收敛。

算子的强收敛是指对任意 \(x\in X\)，\[\lim_{n\to\infty}\|T_n(x)-T(x)\|=0\] 所以对于强收敛或者一致收敛，我们要指明是哪个空间上的收敛。

7，依测度收敛与依概率收敛：

依测度收敛与几乎处处收敛是实变函数、实分析或者测试论里的概念。依概率收敛是概率论里的概念。但事实上，它们的定义几乎就是一样的。

依测度收敛：我们说一个可测函数列 \(f_n\in X\) 依测度收敛于 \(f\in X\) 是指对于任意的 \(\epsilon>0\) \[\lim_{n\to\infty}\mu(\{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0\]

这里 \(\mu\) 是定义在 \(X\) 上的一个测度。

依概率收敛：如果对于任意对于任意的 \(\epsilon>0\)，随机变量序列 \(X_n\) 满足

\[\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\geq \epsilon)=0\]

我们称随机变量序列 \(X_n\) 依概率收敛于随机变量 \(X\)。

如果将概率看成测度，那么依概率收敛就是一种依测度收敛。

8，几乎处处收敛：

这是实变函数或者实分析中的概念。“几乎处处”是指除去一个零测集外，每一个点处满足的概念。

我们说一个函数列 \(\{f_n\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)，是指

\[\mu(\{x:\lim_{n\to \infty}(f_n(x)-f(x))\ne 0\})=0\]

换句话说，就是函数列 \(f_n\) 不收敛于 \(f\) 的所有的点的集合，测度为 \(0\)。

9，结语：一般来说，分析学各课程，都少不了各种各样的收敛概念，因为收敛性这一概念是分析学科的基础。有了这些基础，才能更一步理解后续的内容。