如何计算对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分可能是高等数学里最难的一部分了,这里我们总结了求对坐标的曲面积分的各种方法,并且举例说明这些方法的应用范围。

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1,计算方法
对坐标的曲面积分的计算方法主要是三种:直接计算,利用向量形式的曲面积分(两类曲面积分的关系),以及利用高斯公式来计算。

(1)直接计算
直接计算的话,就是将曲面积分化成二重积分来算,例如
\begin{align*}\iint_SR(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\end{align*}
这里 \(D_{xy}\) 就是曲面在 \(xOy\) 平面上的投影,如果是曲面的上侧,取正号,如果是曲面的下侧,则取负号。同理
\[\iint_SQ(x,y,z)dzdx=\pm\iint_{D_{zx}}Q(x,y(x,z),z)dzdx\]
\(D_{zx}\) 就是曲面在 \(xOz\) 平面上的投影,曲面右侧取正,左侧取负;
\[\iint_SP(x,y,z)dydz=\pm\iint_{D_{yz}}Q(x(y,z),y,z)dydz\]\(D_{yz}\) 就是曲面在 \(yOz\) 平面上的投影,前侧取正,后侧取负。

2,利用曲面积分的向量形式(两类曲面积分的关系)

因为 \[\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iint_S\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS\] 这里 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\), \(\vec{n}\) 是曲面的单位法向量。我们分两种情况计算。

(1)曲面由 \(z=f(x,y)\) 给出,则\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-f_x,-f_y,1)dxdy\]如果曲面是上侧,就取正,如果曲面是下侧,就取负。

这是因为如果曲面取上侧,曲面法向量的第三个分量为正,所曲面的法向量为 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y, 1)\);曲面下侧,第三个分量取负,所以 \(\vec{N}=(f_x,f_y, -1)\)。单位法向量为
\[\vec{n}=\pm\frac{1}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}(-f_x,-f_y, 1)\]
而面积元
\[dS=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy\]联合起来,就是
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-g_x,-g_y,1)dxdy\]

(2)曲面由隐函数 \(G(x,y,z)=0\) 给出,由隐函数求导公式及上面的结论,得到
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(\frac{G_x}{G_z},\frac{G_y}{G_z},1)dxdy\]

3,利用高斯公式

闭曲面上的积分首先要考虑高斯公式。分两种情况:

(1),若曲面积分是在闭曲面上进行,则直接应用高斯公式,
\[\oint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iiint_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\]这里 \(V\) 是曲面 \(S\) 所围成的立体。

(2),若曲面是开曲面,则添加辅助曲面使之成为闭曲面,

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再应用高斯公式,最后减去辅助曲面上的积分即得原积分的值,\begin{align*}\iint_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &\quad -\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\end{align*}

对于闭曲面内部有奇点的情形,也可以仿照格林公式,挖去奇点,应用高斯公式在复连通立体上,再减去内部闭曲面上的积分就得到原积分。但是这种方法在高数课程里一般涉及,我们就不做介绍了。

4,适用范围:(1)若曲面简单而且被积函数也简单,直接计算;(2)若曲面是闭曲面,首先考虑应用高斯公式;(3)若曲面是开曲面,但被积函数复杂,考虑添加辅助曲面,变成闭曲面后,利用高斯公式计算,最后再减去辅助曲面上的积分;(4)若被积函数复杂,但又不合适作用高斯公式,可以尝试向量形式的曲面积分。

5,计算方法举例

例1:计算曲面积分 \(\displaystyle \iint_Sxyzdxdy\),其中 (S) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的外侧在 \(x\ge 0, y\ge 0\) 的部分。

解:曲面可以分为上、下两部分,上半部分的表达式为 \(S_1: z=\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\),法向量朝上,积分符号为正;下半部分的表达式为 \(S_2: z=-\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\),法向量朝下,积分符号为负。它们的投影区域都是 \(D=\{(x,y)| x^2+y^2\le 1, x,y\ge 0\}\)。所以曲面积分为

\begin{align*}\iint_Sxyzdxdy&=\iint_{S_1}xyzdxdy+\iint_{S_2}xyzdxdy\\ &=\iint_{D}xy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy-\iint_{D}xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy \\&=2\iint_Dxy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta\end{align*}

令 \(u=1-r^2\),则 \(du=-2rdr, r^2=1-u\),所以

\begin{align*}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^0(1-u)\cos t \sin t\sqrt{u}(-\frac{1}{2}du)d\theta\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\cos t \sin t(\sqrt{u}-u^{3/2})dudt\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sin t\left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right)\Big|_0^1dt\\ &=\frac{4}{15}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\sin t dt=\frac{4}{15}\cdot\frac{1}{2}\sin^2t\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{2}{15}\end{align*}

例2,计算积分 \(\displaystyle\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy\),其中 \(f(x,y,z)\) 是连续函数,\(S\) 是平面 \(x-y+z=1\) 在第四卦限部分的上侧。

解:这里 \(f(x,y,z)\) 是连续函数,具体形式不知道,所以不能应用直接计算方式;又因为它只是连续函数,没有可不可导的条件,也不能应用高斯公式,所以只有利用向量形式(或者两类曲面积分的关系)的曲面积分,希望能够消去 \(f(x,y,z)\),然后再积分。

因为 \(S:z=1-x+y\),曲面取上侧,所以 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y,1)=(1,-1,1)\),曲面在 \(xOy\) 平面的投影为 \(D={(x,y)| 0\le x\le 1, x-1\le y\le 0}\),

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曲面积分为

\begin{align*}\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz&+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy=\iint_D\vec{F}\cdot \vec{N}dxdy\\ &=\iint_D(f(x,y,z)+x,2f(x,y,z)+y,f(x,y,z)+z )\cdot(1,-1,1)dxdy\\ &=\iint_D(x-y+z)dxdy=\iint_D(x-y+1-x+y)dxdy\\ &=\iint_Ddxdy=\frac{1}{2}\end{align*}

最后的结果是因为投影区域是直角三角形,两个底边长都是 \(1\),它的面积是 \(\frac{1}{2}\)。

例3:求积分\(\displaystyle\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz\),其中 \(S\) 是柱面 \(x^2+y^2=1\) 及平面 \(z=0,z=3\) 所围成的闭曲面的外侧。

解:这里\(P(x,y,z)=(y-z)x, Q(x,y,z)=0, R(x,y,z)=x-y\),曲面外侧,所以可以直接应用高斯公式

\begin{align*}\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &=\iiint_V\left(\frac{\partial }{\partial x}((y-z)x)+\frac{\partial }{\partial z}(x-y)\right)dV\\ &=\iiint_V(y-z)dV\end{align*}

因为这个闭曲面所围成的部分是圆柱体,所以应用柱坐标来计算三重积分比较简便,

\begin{align*}\iiint_V(y-z)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^3(r\sin \theta-z)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(r^2\sin\theta z-\frac{1}{2}rz^2\right)\Big|_0^3drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(3r^2\sin\theta-\frac{9}{2}r\right)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(r^3\sin\theta-\frac{9}{4}r^2\right)\Big|_0^1d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(\sin\theta-\frac{9}{4}\right)d\theta=\left(-\cos\theta-\frac{9}{4}\theta\right)\Big|_0^{2\pi}\\ &=-\frac{9}{2}\pi\end{align*}

下一个例子,我们看一下如何利用高斯公式求一个开曲面的曲面积分。我们先添加一个辅助曲面将开曲面变成闭曲面,然后利用高斯公式计算闭曲面上的积分,最后再减去辅助曲面上的积分,就得到我们所求的曲面积分。

例4:求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\),其中 \(S\) 为 \(z=x^2+y^2\) 在平面 \(z=4\) 以下的部分,上侧。

解:这是一个开曲面,我们给它加上一个盖子\(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\) ,法向量朝下,组成一个闭曲面,

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这个闭曲面的法向量是朝内的,所以

\begin{align*}\iint_S+\iint_{S_1}&=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &=\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV\end{align*}

这个积分区域的投影是圆 \(x^2+y^2\le 4\),下曲面是\(z=x^2+y^2=r^2\),上曲面是 \(z=4\),所以利用柱坐标计算,\[V=\{(r,\theta,z)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le 2, r^2\le z\le 4\}\]

我们有

\begin{align*}\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4(4-r^2)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4r(4-r^2)z\Big|{r^2}^4drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int{r^2}^4r(16-8r^2+r^4)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2(8r^2-2r^4+\frac{1}{6}r^6)\Big|_0^2d\theta=\frac{32}{5}\theta\Big|_0^{2\pi}\\ &=\frac{64}{5}\pi\end{align*}

现在计算辅助曲面 \(S_1\) 的上积分,因为 \(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\),所以 \(dz=0\)。又因为它的法向量朝下,所以积分号为负,

\begin{align*}\iint_{S_1}&\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iint_{x^2+y^2\le 4}16dxdy=-16\cdot 4\pi\end{align*}

这里,\(1\) 的积分就是平面区域的面积,而圆 \(x^2+y^2\le 4\) 的面积为 \(4\pi\)。

所以

\begin{align*}\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz&+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &\quad-\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\ &=-\frac{64}{5}\pi+64\pi=\frac{256}{5}\pi\end{align*}

6,习题与答案

最后给出一些习题,供同学们练习。

1,计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sy^3dydz+z^2dzdx+xdxdy\),其中 \(S\) 是曲面 \(z=4-x^2-y^2\) 位于平面 \(z=2x+1\) 上方的部分,方向朝下。

2,设 \(S\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\le 4\) 的下侧,\(f(x,y)\) 是连续函数,计算 \(\displaystyle\iint_S(xf(x,y)+2xy-y)dydz+(yf(x,y)+2y+x)dzdx+(zf(x,y)+z)dxdy\)

3,设空间立体 \(V\) 由平面 \(2x+y+2z=2\) 与三个坐标面围成,\(S\) 是它的外表面,计算曲面积分 \[\oint_S(x^2+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy\]

4,求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S (y\cos(y^2)+z-1)dydz+\frac{z}{x+1}dzdx+xye^{z^2}dxdy\),其中 \(S\) 是其中一个顶点在原点,整个位于第一卦限的无底单位正方体,法向量朝向外。

5,求曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sz^3\sin e^ydydz+z^3e^{x^2\sin z}dzdx+(y^2+z)dxdy\),其中 \(S\) 是下半球面 \(x^2+y^2+z^2=4\),方向朝上。

答案:1 \(\quad 0\)

2 \(\quad 0\)

3 \(\quad\frac{1}{2}\)


4
\(\quad\frac{e}{4}\)

5 \(\quad \frac{4}{3}\pi^3\)

如何计算对坐标的曲线积分?

这一篇文章里我们总结一下求对坐标的曲线积分的方法,以及每种方法的应用情况,这样,我们遇到对坐标的曲线积分时,能够采用针对性的方法来求。

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对坐标的曲线积分的计算方式有很多种,我们所知道或者教材上提到过的就有:直接计算,利用格林公式计算,利用 Stokes 公式,利用积分与路径无关以及全微分求积等等。而且有些方法在不同情况下还有不同的变化。这么多方法,再加上对坐标的曲线积分还需要分方向等等,造成了很多同学感觉对坐标的曲线积分很难的印象。

这一篇文章里我们总结一下求对坐标的曲线积分的方法,以及每种方法的应用情况,这样,我们遇到对坐标的曲线积分时,能够采用针对性的方法来求。

事实上,我们只需要掌握两种方法即可:直接计算法和利用格林公式求积分两种方法。因为能够采用全微分求积或者积分路径无关的方法来求曲线积分的,采用格林公式来求更简单直接。所以我们只总结这两种方法。

对于三维闭曲线上的积分,可以应用 Stokes 公式来求,但它的思想与平面上的格林公式一致,我们只简单介绍一下它的方法。

1,直接计算法:我们根据曲线 \(L\) 的表达式的不同形式,将曲线积分化成定积分来计算。

  • 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \( x=\phi(t),y=\psi(t)\} \)给出,\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\),其中 \(t=\alpha\) 对应起点, \(t=\beta\) 对应终点,那么积分 \begin{align*}\int_LP(x,y)dx&+Q(x,y)dy\\&=\int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t))\cdot\phi'(t)dt+Q(\phi(t),\psi(t))\cdot\psi'(t)dt\end{align*}其中 \(x,y\) 都用 \(t\) 表示。这里要注意的是,这里不管 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 谁大谁小,起点就是在下限,终点在上限,这一点跟对弧长的曲线积分不同。
  • 若曲线 \(L\) 是由参数方程 \(x=\phi(t),y=\psi(t),z=\gamma(t)\}\) 给出,\(t\) 从 \(\alpha\) 到 \(\beta\),其中 \(t=\alpha\) 对应起点, \(t=\beta\) 对应终点,那么积分 \begin{align*}\int_LP(x,y,z)dx&+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\&=\int_{\alpha}^{\beta}P(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\phi'(t)dt\\ &\quad+Q(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\psi'(t)dt\\ &\quad+R(\phi(t),\psi(t),\gamma(t))\cdot\gamma'(t)dt\end{align*}其中 \(x,y,z\) 都用 \(t\) 表示。剩下的部分就是计算定积分了。
  • 若曲线是由一个函数 \(y=f(x)\), \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\),那么积分 \[\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{a}^{b}P(x,f(x))+Q(x,f(x))\cdot f'(x)dx\]

2,若 \(L\) 是平面曲线,则可以用格林公式来计算。

  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,且在曲线内部 \(P(x,y), Q(x,y)\) 有一阶连续偏导数,这种情况可以直接应用格林公式;
  • 若 \(L\) 是平面闭曲线,但是在曲线内部 \(P(x,y), Q(x,y)\) 有奇点(一阶偏导数不存在或者不连续),这种情况我们通过添加辅助线,将奇点挖掉,然后应用格林公式。最后将辅助线上的积分减去,就得到了原来的曲线积分的值,\begin{align*}\oint_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &\quad-\oint_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align*} 这里 \(L\) 取正向, \(L_1\) 都取反向(顺时针方向)。
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  • 若 \(L\) 是平面开曲线,我们可以通过添加简单的辅助线(为了方便计算),使新的曲线成为一个简单闭曲线,然后应用格林公式,最后减去辅助线上的积分,就得到原曲线积分的值。\begin{align*}\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\\ &\quad-\int_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{align*}
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3,若 \(L\) 是一个空间闭曲线,则可应用Stokes 公式,将曲线积分化成曲面积分。在曲面的选择上,可以选择比较简单的、容易计算的曲面来进行计算。(因为以 \(L\) 为边界的曲面很多,我们可以选择最简单的曲面。)

理论上来说,空间开曲线也可以通过添加辅助线的方式来应用 Stokes 公式,但一般来说,这样的计算相对繁琐,我们一般不考虑。

4,计算方法选择:现在的问题是在什么情况采取什么方法来求积分?

基本的思想是:(1)闭曲线,基本上采用格林公式或者 Stokes 公式来求,不管内部是不是有奇点;

(2)开曲线:如果曲线简单(例如直线)并且被积函数简单,直接计算;

(3)开曲线:如果曲线复杂,或者被积函数复杂,采用格林公式计算。

现在我们来看如何应用上述的结论。

例1,求积分 \(\int_L(x+y)dx+(y-x)dy\),其中 \(L\) 是抛物线 \(y^2=x\) 从点 \((1,1)\) 到 \((4,2)\) 之间的一段弧。

解:这里,被积函数很简单,曲线也简单,可以用直接方法计算。用 \(y\) 作自变量会更简单一点,不用计算根式函数的导数。

\begin{align*}\int_L(x+y)dx+(y-x)dy&=\int_1^2[(y^2+y)\cdot 2y+(y-y^2)]dy\\ &=\int_1^2(2y^3+y^2+y)dy\\ &=\frac{1}{2}y^4+\frac{1}{3}y^3+\frac{1}{2}y^2\Big|_1^2\\ &=8+\frac{8}{3}+2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\\ &=\frac{34}{3}\end{align*}

例2:计算 \(\displaystyle\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\),其中 \(L\) 是 (1)圆周 \((x-2)^2+y^2=1\);(2)原点在其内部的任一正向闭曲线。

解:(1)曲线为圆心在点 \((2,0)\),半径为 \(1\) 的圆周,在其内部 \(D\) 上 \(P(x,y), Q(x,y)\) 一阶连续可导。所以由格林公式

\begin{align*}\oint_{L}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &=\iint_D\left(\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}\frac{\partial P}{\partial y}\right)dydx\\ &=\iint_D 0dydx=0\end{align*}

(2)因为被积函数在原点处没有定义,所以原点是被积函数的奇点。我们以原点为心,作一个半径为 \(\epsilon \) 的圆 \(L_{\epsilon}\),那么被积函数在介于 \(L\) 与 \(L_{\epsilon}\) 之间的区域内是一阶连续可导的。

这里 \(L\) 是正向,逆时针,\(L_{\epsilon}\) 是反向,顺时针。介于这两条曲线之间的区域我们记为 \(D\),它的边界为 \(L+L_{\epsilon}\),由格林公式,

\[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}+\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

因为 \[\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}\]所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\quad\Rightarrow\quad\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

所以我们得到 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}\]

因为 \(L_{\epsilon}\) 可用参数方程表示为 \(x=\epsilon\cos t, y=\epsilon \sin t\),顺时针方向,所以 \(t\) 是从 \(2\pi\) 到 \(0\),

\begin{align*}-\oint_{L_{\epsilon}}\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}&= -\int_{2\pi}^0\left(\frac{-\epsilon\sin t \epsilon (-\sin t)+\epsilon\cos t\epsilon\cos t}{\epsilon^2}\right)dt\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{\epsilon^2\sin^2t+\epsilon^2\cos^2t}{\epsilon^2}dt=\int_0^{2\pi}dt=2\pi\end{align*}

所以 \[\oint_L\frac{-ydx+xdy}{x^2+y^2}=2\pi\]

例3:计算 \(\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy\),其中 \(L\) 是抛物线 \(2x=\pi y^2\) 上从点 \((0,0)\) 到 \((\frac{\pi}{2}, 1)\) 之间的一段。

解:积分的曲线如图:

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如果直接计算,这个积分基本上是求不出来的,但是利用格林公式,计算就变得很简单。但是这个曲线不是闭曲线,我们需要添加辅助线来将它变成闭曲线。

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我们看到整个闭曲线的方向是顺时针方向,它是逆向的,所以

\begin{align*}\left(\int_L+\int_{L_1}+\int_{L_2}\right)P(x,y)dx&+Q(x,y)dy=-\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\end{align*}

我们先来计算右边的积分。因为

\begin{align*}&\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1-2y\sin x+3x^2y^2)=-2y\cos x+6xy^2,\\ &\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}(2xy^3-y^2\cos x)=6xy^2-2y\cos x\end{align*}

所以 \[\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0,\qquad \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=0\]

那么 \[\int_LPdx+Qdy=-\int_{L_1}Pdx+Qdy-\int_{L_2}Pdx+Qdy\]

在 \(L_1\) 上,\(x=\frac{\pi}{2}, dx=0\), \(y\) 从 \(1\) 到 \(0\)。所以

\begin{align*}-\int_{L_1}Pdx+Qdy&=-\int_1^0Q(x,y)dy\\ &=-\int_1^0\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy\\ &=\int_0^1\left(1-2y+3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2y^2\right)dy\\ &=y-y^2+\frac{\pi^2}{4}y^3\Big|_0^1=\frac{\pi^2}{4}\end{align*}

在 \(L_2\) 上, \(y=0,dy=0\),\(x\) 从 \(\frac{\pi}{2}\) 到 \(0\)。所以

\[-\int_{L_2}Pdx+Qdy=-\int_{L_2}Pdx=-\int_{L_2}0dx=0\]

所以

\[\int_L(2xy^3-y^2\cos x)dx+(1-2y\sin x+3x^2y^2)dy=\frac{\pi^2}{4}\]

最后是一些习题供同学们练习。

1,设 (C) 是从 ((1,0)) 到 ((0,1)) 再到((-1,0)) 的折线,求下列曲线积分
(1)\(\displaystyle\int_C2xydx+x^2dy\);(2)\(\displaystyle\int_Cye^{xy}dx+xe^{xy}dy\);(3)\(\displaystyle\int_Cx^{2/3}dx+e^{7y}dy\)。

2,求曲线积分 \(\displaystyle\int_C(x^2+y)dx+xdy\),其中 \(C\) 是曲线 \(y=9-x^2\) 从 \((-3,0)\) 到 \((3,0)\) 的一段。

3,求积分 \(\displaystyle\int_Cxydx+(e^y+x^2)dy\),其中 (C) 是由 \(y=x^2+4x+4\) 与 (y=4-x^2) 围成的区域的正向边界。

4,计算积分 \(\int_C\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy\),其中 \(C\) 为(1)任意一条原点在其内部的正向闭曲线;(2)任意原点在其外部的正向闭曲线;(3)曲线 \(y=\frac{1}{4}x^2+1\) 从点 \((-2,2)\) 到 \((2,2)\) 之间的一段;(4)曲线 \(y=x^2-2\) 从点 \((-2,2)\) 到 \(2,2\) 之间的一段。

5,求积分 \(\displaystyle\oint_C\frac{4x-y}{4x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{4x^2+y^2}dy\),其中 \(C\) 为 \(x^2+y^2=2\), 逆时针方向。

答案:1(1)\(\quad 0\quad \)(2)\(\quad 0\quad\)(3)\(\quad\frac{6}{5}\)

2\(\quad 18\quad\) 3 \(\quad-\frac{8}{3}\quad \)

4 (1)\(\quad2\pi\quad \)(2)\(\quad0\quad\)(3)\(\quad-\frac{\pi}{2}\quad\)(4)\(\quad \frac{3\pi}{2}\)

5 \(\quad\pi\quad\)

高等数学(微积分)如何学才不痛苦?

经常有学生或者家长跟我说(当年)学习高等数学或微积分时是多么的痛苦,多么的绝望。 甚至有同学发出“学完高数以后我再也不学数学了”的感叹。 确实 ,高等数学里面有不少的的定义、定理非常抽象、语言晦涩 难懂 。要弄懂这些内容确实是让人抓狂的事。

事实上,我们学习高数不用这么痛苦,可以很高效,比较轻松地学习好它的核心内容的。只要我们把握好几个原则就可以做到。

第一个原则就是:专注于计算,抽象的定义与理论先放一边。

高数,本质上就是微积分,很多课程 直接叫微积分。而微积分就是一种计算方法,它主要就是讲的这种计算方法以及它的应用。所以只要掌握了微积分的计算与它们的应用,也就掌握了高数这门课程。

高数或者微积分里面有些定义和定理确实很难,但如果确实弄不明白,先放一边,或许学到后面能明白,但实在不明白也没关系,根本不影响后面的学习。

举例来说,极限的严格定义:对所有的 \(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当\(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 为 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

很多同学看到这一段话,估计就懵了。不要说里面的数学,就是想把这段话读顺都不容易,太拗口了,逻辑顺序都难弄得清。但实际上,没有弄懂这个定义,完全没有影响的后面的学习。对于极限,我们只需要理解它的直观定义就够了:当 \(x\) 不断靠近 \(a\) 的时候, \(f(x)\) 无限靠近 \(A\),我们就说 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

如果我们把这个定义完全用数学符号写出来,那更受不了:\(\forall \epsilon>0\), \(\exists \delta>0\), 使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 时,不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

顺带说一句,极限的这个严格定义,是分析学里的一个核心概念,它还在实变函数,泛函分析里面起到基础的作用。哪怕是数学系学了几年的学生,都不一定能把这个定义完全弄明白,所以第一次学,弄不懂是很正常的事。

我们的第二个原则是:学好三种计算,求极限,求导数,求不定积分

我们前面讲了,微积分就是计算,要学好微积分就要专注于计算。而微积分里的计算基本上都离不开这三种计算。以不定积分来说,定积分基本上可以用不定积分法来求,重积分是用定积分来求,曲线积分和曲面积分也都是用定积分来求。

这三种计算,求导数还好,基本上是套公式。十几个基本求导公式再加上几个求导法则,套上去,基本上就求出来了。这里我稍微提一下,基本的求导公式不要去背,很容易背混的。要边做题边记,最后能够不看公式,就能做完做对,那么公式就记下来了。

求极限的方法很多,十几种,四则运算,几种初等的方法,两个重要极限,洛必达法则是最常用的几种。会了这几种,可以对付绝大部分的极限了。但即使只用这几种方法,要熟练掌握也得花一点功夫,因为你事先并不知道哪一个极限要用哪一个方法来求,只有足够熟练了,才能一眼看出该用哪一个方法。

不定积分的求法是这三种计算里面最复杂也是最重要计算。看起来不定积分只有三种方法:第一类换元,第二类换元和分部积分。但是怎么换,第一类换元还是第二类换元,换哪一个,还是分部积分;或者是先换元再分部还是先分部再换元,都是需要很多练习以后才能熟练掌握的。另外再加上三角函数的恒等变换,有理函数的分解,都使得不定积分变得异常复杂。

虽然不定积分这么复杂,但我可以说,掌握了不定积分也就掌握了微积分。因为只要掌握了不定积分,导数就掌握了,定积分也掌握了。不定积分是求导的逆运算,就象掌握了除法,乘法肯定没问题。又因为有了牛顿-莱布尼兹公式,求定积分无非就是求一个不定积分,再代函数值而已。

我们的第三个原则是:学会微积分的应用

一元微积分部分,导数的应用主要是洛必达法则,极大极小值和函数的性态(增减,凹凸);积分的应用主要是面积、体积。

多元微积分基本上是计算,应用上主要是多元函数的极值及拉格朗日条件极值。

遵守这三条原则,高数就没那么难了。

可以参看我们的视频课程:高数(上)视频课程高数(下)视频课程

如何计算对弧长的曲线积分

对弧长的曲线的积分的计算,一般是将积分化成定积分来计算。这里我们根据曲线的不同的表达方式给出不同的化成定积分的方法。

对弧长的曲线积分,通常是具有形式 \(\int_L f(x,y)ds\)(二维)或者 \(\int_L f(x,y,z)ds\)(三维)。对弧长的曲线积分,计算方法是很直接的,没有太多技巧可言,运用弧微分 \(ds\) 的公式计算即可。

  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt,\] 所以曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)}dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是空间曲线并且由参数方程给出 \(x=\phi(t), y=\psi(t), z=\gamma(t), \alpha\le t\le \beta\),那么弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t)+\gamma’^2(t)}dt,\]
    从而曲线积分可以用定积分\[\int_{\alpha}^{\beta}f( \phi(t), \psi(t),\gamma(t)) \sqrt{\phi’^2(t)+\psi’^2(t) +\gamma’^2(t) }dt \]来计算;
  • 如果 \(L\) 是平面曲线并且由函数 \(y=g(x), a\le x\le b\) 给出,则弧微分的表达式为\[ds=\sqrt{1+g’^2(x)}dx,\]从而曲线积分可以用定积分\[\int_a^bf(x,y) \sqrt{1+g’^2(x)}dx \]来计算。

如何应用根值判别法求幂级数的收敛半径?

我们给出求幂级数的收敛半径的另一种方法,就是应用根值判别法来求收敛半径。

在一般的教材里,幂级数的收敛半径通常是用比值判别法来求的。事实上,我们也可以应用根值判别法来求幂级数的收敛半径。由根值判别法,

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}x^{n}\right|}=|x|
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \]

由根值判别法的结论,当\( \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=|x| \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} <1\),也就是\(|x|<\frac{1}{
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} }\) 时,级数收敛,所以我们得到了收敛半径为 \[
R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} . \]

对于缺项级数和一般泰勒级数,我们也可以用根值判别法来求它们的收敛半径。我们可以看几个例子。

例1,求幂级数\[\sum_{n=1}^{\infty}n5^nx^n\]的收敛半径。

解:由上述推导,我们知道,幂级数的收敛半径为

\[ R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} = \frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|n5^n\right|}}= \frac{1}{5}. \]

例2,求幂级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1}\]的收敛半径。

解:这个级数是缺项级数,我们不能直接应用我们上面的结论。但是我们仍然可以应用根值判别法来求收敛半径。首先,我们求极限

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|
\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1} \right|}= |x|^2.\] 由根值判别法的结论,当 \(|x|^2<1\) 时,级数收敛, \(|x|^2>1\) 时, 级数发散。也就是说,\(|x|<1\) 时,级数收敛, \(|x|>1\) 时, 级数发散。 所以级数的收敛半径为 \(1\)。

正项级数的积分判别法

本文讲解了如何利用反常积分(广义积分)来判定无穷级数的敛散性。

有些教材用到了积分判别法来判别 \(p-\)级数的收敛性, 但是没有特别地、详细地讲述这一判别法则。这篇文章就详细讲解这一判别方法。

我们先来叙述一下这个判别定理.

定理(积分判别法): 设 \(f(x)\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,并且 \(f(n)=a_n\), 那么级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 与积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 同敛散。 也就是说:

  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 收敛,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 收敛
  • 如果积分 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 发散,则级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 发散

我们不去证明这个定理,有兴趣的同学可以参考相关的教材。

注记:

  1. 对于这个定理,\(n\) 不一定要从 1 开始 。举例说,如果级数的第一项从 4 开始,那么我们的积分的下限就是 4 .
  2. \(f(x)\) 不一定需要在区间上一直单调,只需要它最终是单调的就行,也就是说,从某一项开始后,它是单调的。
  3. 级数的值不等于积分的值,这一点需要注意。

这个定理的应用主要在于级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数的形式。如果级数的一般项可以写成 \(n\) 的某个函数,那么应用这个判别法则是比较方便的。我们来看几个例子。

例 1:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\]
的敛散性。

解:我们看到,函数 \(\frac{1}{x^2+1}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法。因为
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x \Big|_1^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.\]
所以,积分是收敛的,从而由积分判别法,此级数收敛。

例 2:判别级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\]的敛散性。

解:函数 \(f(x)=\frac{\ln x}{x}\) 在区间 \((1,\infty)\) 上为一连续、非负函数,但是否单调, 我们一下子看不出来。那我们用导数的方法来判定其是否单调。
\[f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.\]
它在 \(x>e\) 时是单调减少的。根据我们前面的注记,这个函数是最终单调减少的。所以我们可以用积分判别法。因而
\[\int_1^{\infty}\frac{\ln x}{x}=\frac{1}{2}\ln^2x\Big|_1^{\infty}=\infty .\]
所以积分是发散的,从而,级数\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n}\) 是发散的。

例3:判别级数
\[\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}\]的敛散性。

解:函数 \(\frac{1}{x\ln x}\) 在区间 \([1,\infty)\) 上为一连续、非负、单调递减函数,所以我们可以用积分判别法来判别。我们有
\[\int_1^{\infty}\frac{1}{x\ln x}=\ln^2(\ln x)\Big|_2^{\infty}=\infty .\]
所以级数发散。

函数展开成幂级数的方法总结

函数展开成幂级数的方法一般有:直接展开;变量代换;逐项求导以及逐项积分等方法。

函数展开成幂级数的一般方法是;

  1. 直接展开;对函数求各阶导数,然后求各阶导数在指定点的值,从而求得幂级数的各个系数。
  2. 通过变量代换来利用已知的函数展开式;例如 \(\sin2x\) 的展开式就可以通过将 \(\sin x \) 的展开式里的 \(x\) 全部换成 \(2x\) 而得到。我们已知 \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\), 从而 \(\displaystyle\sin2x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\).
  3. 通过变形来利用已知的函数展开式;例如要将 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 展开成 \(x-1\) 的幂级数,我们就可以将函数写成 \(x-1\) 的函数,然后利用 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}\) 的幂级数展开式。\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{2+(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}\),而 \(\displaystyle\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{x-1}{2})^n\),从而 \(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\)
  4. 通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式;例如 \(\displaystyle \cosh x= (\sinh x)’\),它的幂级数展开式就可以通过将\(\sinh x\) 的展开式逐项求导得到。需要注意的是,逐项积分法来求幂级数展开式,会有一个常数出现,这个常数是需要我们确定的。确定的方法就是通过在展开点对函数与展开式取值,令两边相等,就得到了常数的值。
  5. 利用级数的四则运算。例如 \(\displaystyle\sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2}\),而 \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}\),所以 \(\displaystyle\sinh x=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, \forall x\in R\)

几个常用的已知函数的展开式:

  1. \(\displaystyle\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \forall x\in R\)
  2. \(\displaystyle\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}, \forall x\in R\)
  3. \(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \forall x\in R\)
  4. \(\displaystyle\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, \forall x\in (-1,1)\)
  5. \(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, \forall x\in (-1,1) \)
  6. \(\displaystyle\ln(1-x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, \forall x\in (-1,1]\)
  7. \(\displaystyle\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n, \forall x\in (-1,1]\)

级数判敛方法总结

级数判敛的方法众多,总结起来就有比较判别法,比较判别法的极限形式,比值判别法,根值判别法,极限判别法,积分判别法,交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。

级数判敛的方法众多,总结起来就有比较判别法,比较判别法的极限形式,比值判别法,根值判别法,极限判别法,积分判别法,交错级数判敛法以及一个级数收敛的必要条件。对于一个具体的级数,应该应用哪一种方法最有效,这就是一个头疼的问题。我们不可能一个方法一个方法的来试,那样就太浪费时间了。这里我们总结一下一般的原则。

判定一个级数是否收敛的关键,在于迅速确定级数的形式。不同的形式有着不同的有效判别方法。现在我们总结一下,哪些形式应用哪些判别法则。

  1. 如果一眼能看出一般项的极限不趋于 \(0\),即 \(\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0\),则级数发散;
  2. 如果级数具有形式 \(\sum 1/n^p\),那么就是一个 \(p-\) 级数。当 \(p\le1\) 时发散,当 \(p>1\) 时收敛;
  3. 如果级数具有形式 \(\sum a r^n\), 那么就是一个几何级数。当 \(|r|\ge1\) 时发散,当 \(|r|<1\) 时收敛;

这两种级数是最基本的级数,后面的几种判别法,差不多都是跟这两种级数做比较而得到的。

  1. 如果级数的一般项是 \(n\) 的一个代数式(有理分式或者无理分式),那么该级数与某个 \(p-\)级数同敛散(极限判别法或者比较判别法的极限形式)。我们只需要在分式中保留关于 \(n\) 的最高阶项,所得到的项就是这个 \(p-\) 级数的一般项。例如,级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n+1}\),它的一般项 \(\displaystyle\frac{1}{n^2+n+1}\sim \frac{1}{n^2}\),所以它与级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 同敛散。在这里,我们将级数的一般项关于 \(n\) 的最高阶项保留,就得到 \(1/n^2\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\) 就是我们要寻找的那个比较级数 。再如 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\sim \frac{1}{n}, (n\to \infty)\),所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\) 发散;
  2. 或者,简单地说,就是如果一个级数的一般项等价于一个 \(p-\) 级数的一般项,则级数与该 \(p-\) 级数同敛散;
  3. 同上,如果一个级数的一般项等价于一个几何级数的一般项,则级数与该几何级数同敛散;
  4. 如果级数含有 \(n!\) ,则比值判别法比较有效。 需要注意的是,比值判别法对 \(p-\) 级数失效,因而对任何级数一般项 \(n\) 的代数式的级数也失效;
  5. 如果级数的一般项 \(a_n=(b_n)^n\), 则首先考虑根值判别法;
  6. 如果级数的一般项是 \(n\) 的函数 \(f(n)\) 并且广义积分 \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) 较易求得,则可考虑使用积分判别法。
  7. 如果级数含有项 \((-1)^n\),则是一个交错级数,这时候,必定考虑莱不尼兹判别法(交错级数判别法)。