分类： 微分方程

我们知道，每一个高阶微分方程都可以对应一个一阶微分方程组，所以高阶的微分方程可以用一阶微分方程组来求解。反之，一阶的微分方程组也可以用高阶的微分方程来求解。我们来看一下如何利用高阶微分方程来求解一阶的线性微分方程组。

我们以两个函数的方程组来说明如何使用这个方法。设有一阶方程组

\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{cases}

将第一个方程求导，得到 \(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{df}{dt}\)，将方程组代入到右边，得到 \[\frac{d^2x}{dt^2}=h(t,x,y)\]

然后将此式与第一个方程联立，消去 \(y\)，得到关于 \(x\) 的二阶方程，求出此方程，再代入到方程组里的第二个方程，就可以求出 \(y\)。

对于三个和三个以上的未知函数的方程，可以类似处理。

我们来看例题。

例1，求方程组的通解，

\begin{cases}\frac{dx}{dt}+y=\cos t\\ \frac{dy}{dt}+x=\sin t\end{cases}

解：将第一个方程对 \(t\) 求导，得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dy}{dt}=-\sin t\]

将 \(\frac{dy}{dt}=-x+\sin t\) 代入上式，得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}-x=-2\sin t\]

利用二阶常系数非齐次方程的解，不难求出它的通解为 \[x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\]

将它代入第二个方程，得到

\[\frac{dy}{dt}+C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t=\sin t\]

也就是

\[\frac{dy}{dt}=-C_1e^{x}-C_2e^{-x}\]

两边积分，就得到

\[y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\]

所以方程的通解为

\begin{cases}x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\\ y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\end{cases}

如果一阶微分方程组的系数都是常数，那么微分方程组可以写成矩阵的形式

\[{\bf x}’=A{\bf x}\]

对于这样的微分方程组，它的解可以分为三种情况。

1. 如果矩阵 \(A\) 有相异的特征值  \(\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n\)， 其对应的特征向量为 \({\bf \xi}_1,{\bf \xi}_2,\cdots, {\bf \xi}_n \)，那么它的通解为\[{\bf x}=c_1{\bf \xi}_1e^{\lambda_1t}+c_2{\bf \xi}_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_1{\bf \xi}_ne^{\lambda_nt}\]
2. 如果矩阵 \(A\) 有一对复特征值 \(\alpha\pm i\beta\)，其对应的特征向量为 \({\bf a}\pm i{b}\)，那么微分方程的通解中含有项\[c_1e^{\alpha t}({\bf a}\cos \beta t-{\bf b}\sin \beta t)+c_2e^{\alpha t}({\bf a}\sin \beta t+{\bf b}\cos\beta t)\]
3. 如果矩阵 \(A\) 有\(k\)重特征值 \(\lambda\)，那么情况比较复杂，我们只处理二重根的情况
   • \(\lambda\) 有两个线性无关的特征向量 \(\xi_1,\xi_2\)，那么跟第一种情况类似，方程的通解中含有项 \[c_1e^{\lambda t}\xi_1+c_2e^{\lambda t}\xi_2\]
   • 如果对应 \(\lambda\)  的特征向量只有一个 \(\xi\)，则通过解方程组 \((A-\lambda I)\eta=\xi\) 得到向量 \(\eta\)，则方程的通解中含有\[C_1e^{\lambda t}\xi+c_2e^{\lambda t}(t\xi+\eta)\]

 我们用两个方程的方程组的例子来说明这些结论。

例1， 求微分方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}1&1\\ 4& 1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解：因为 \[|A-\lambda I| =\begin{vmatrix}1-\lambda& 1\\ 4& 1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)\]

所以特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=-1\)。

当 \(\lambda_1=3\) 时，

\[A-\lambda I =\begin{pmatrix} -2& 1\\ 4& -2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-2&1\\ 0& 0\end{pmatrix}\]

所以我们得到特征向量为 \(\xi_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\)。

当 \(\lambda_2=-1\) 时，可以得到特征向量为  \(\xi_2=\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}\)。

所以方程组的通解为 

\[{\bf x}=c_1e^{3t}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}+c_2e^{-t}\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}. \]

例2，解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-2\\ 4&-1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解：我们先求特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{pmatrix}3-\lambda& -2\\ 4& -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)+8=\lambda^2-2\lambda+5\]

所以我们得到特征值为 \(\lambda_{1,2}=1\pm2 i\)，将\(\lambda_{1}=1+2 i\) 代入 \(A-\lambda I\)，  我们得到

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-2i& -2\\ 4& -2-2i\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1-i& -1\\ 0&0\end{pmatrix}\]

从而我们得到其中一个特征向量为 \(\begin{pmatrix}1\\ 1-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\)。所以方程的通解为

\[\begin{align}{\bf x}&=c_1e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\cos 2t-\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\sin 2t\right)+c_2e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\sin 2t+\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\cos 2t\right)\\ &= c_1e^{t}\begin{pmatrix}\cos 2t\\ \cos 2t+\sin 2t\end{pmatrix}+c_2e^{t}\begin{pmatrix}\sin 2t\\ \sin 2t-\cos 2t\end{pmatrix}\end{align}\]

例3，解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-4\\ 1& -1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解：先求矩阵的特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}3-\lambda& -4\\ 1& -1-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.\]

所以我们得到二重特征值 \(\lambda_{1,2}=1\)。我们再来求特征向量，

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2\\ 0&0\end{pmatrix}.\]

从而我们只能得到一个特征向量 \(\xi=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)。所以方程组的一个线性无关的解为 \(e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)，为要求得另一个解，我们解线性方程组 \[(A-\lambda I) \eta=\xi,\] 也就是求解

\[\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\eta=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\]

这个方程组的一个解为 \(\eta=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\)，所以我们可以得到微分方程组的通解为 

\[{\bf x}=C_1e^t\xi+C_2e^t(t\xi+\eta)=C_1e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}+C_2e^t\begin{pmatrix}2t+1\\ t\end{pmatrix}\]