利用高阶微分方程求解一阶线性微分方程组

我们知道,每一个高阶微分方程都可以对应一个一阶微分方程组,所以高阶的微分方程可以用一阶微分方程组来求解。反之,一阶的微分方程组也可以用高阶的微分方程来求解。我们来看一下如何利用高阶微分方程来求解一阶的线性微分方程组。

我们以两个函数的方程组来说明如何使用这个方法。设有一阶方程组

\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{cases}

将第一个方程求导,得到 \(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{df}{dt}\),将方程组代入到右边,得到 \[\frac{d^2x}{dt^2}=h(t,x,y)\]

然后将此式与第一个方程联立,消去 \(y\),得到关于 \(x\) 的二阶方程,求出此方程,再代入到方程组里的第二个方程,就可以求出 \(y\)。

对于三个和三个以上的未知函数的方程,可以类似处理。

我们来看例题。

例1,求方程组的通解,

\begin{cases}\frac{dx}{dt}+y=\cos t\\ \frac{dy}{dt}+x=\sin t\end{cases}

解:将第一个方程对 \(t\) 求导,得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dy}{dt}=-\sin t\]

将 \(\frac{dy}{dt}=-x+\sin t\) 代入上式,得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}-x=-2\sin t\]

利用二阶常系数非齐次方程的解,不难求出它的通解为 \[x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\]

将它代入第二个方程,得到

\[\frac{dy}{dt}+C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t=\sin t\]

也就是

\[\frac{dy}{dt}=-C_1e^{x}-C_2e^{-x}\]

两边积分,就得到

\[y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\]

所以方程的通解为

\begin{cases}x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\\ y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\end{cases}

一阶常系数齐次微分方程组求解总结

一阶常系数微分方程组的解法与它的系数矩阵有密切关系。根据系数矩阵的特征值的情况分别为相异实根,重根和复根,得到不同类型的解。

如果一阶微分方程组的系数都是常数,那么微分方程组可以写成矩阵的形式

\[{\bf x}’=A{\bf x}\]

对于这样的微分方程组,它的解可以分为三种情况。

  1. 如果矩阵 \(A\) 有相异的特征值  \(\lambda_1, \lambda_2,\cdots,\lambda_n\), 其对应的特征向量为 \({\bf \xi}_1,{\bf \xi}_2,\cdots, {\bf \xi}_n \),那么它的通解为\[{\bf x}=c_1{\bf \xi}_1e^{\lambda_1t}+c_2{\bf \xi}_2e^{\lambda_2t}+\cdots+c_1{\bf \xi}_ne^{\lambda_nt}\]
  2. 如果矩阵 \(A\) 有一对复特征值 \(\alpha\pm i\beta\),其对应的特征向量为 \({\bf a}\pm i{b}\),那么微分方程的通解中含有项\[c_1e^{\alpha t}({\bf a}\cos \beta t-{\bf b}\sin \beta t)+c_2e^{\alpha t}({\bf a}\sin \beta t+{\bf b}\cos\beta t)\]
  3. 如果矩阵 \(A\) 有\(k\)重特征值 \(\lambda\),那么情况比较复杂,我们只处理二重根的情况
    • \(\lambda\) 有两个线性无关的特征向量 \(\xi_1,\xi_2\),那么跟第一种情况类似,方程的通解中含有项 \[c_1e^{\lambda t}\xi_1+c_2e^{\lambda t}\xi_2\]
    • 如果对应 \(\lambda\)  的特征向量只有一个 \(\xi\),则通过解方程组 \((A-\lambda I)\eta=\xi\) 得到向量 \(\eta\),则方程的通解中含有\[C_1e^{\lambda t}\xi+c_2e^{\lambda t}(t\xi+\eta)\]

 我们用两个方程的方程组的例子来说明这些结论。

例1, 求微分方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}1&1\\ 4& 1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:因为 \[|A-\lambda I| =\begin{vmatrix}1-\lambda& 1\\ 4& 1-\lambda\end{vmatrix}=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)\]

所以特征值为 \(\lambda_1=3, \lambda_2=-1\)。

当 \(\lambda_1=3\) 时,

\[A-\lambda I =\begin{pmatrix} -2& 1\\ 4& -2\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}-2&1\\ 0& 0\end{pmatrix}\]

所以我们得到特征向量为 \(\xi_1=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}\)。

当 \(\lambda_2=-1\) 时,可以得到特征向量为  \(\xi_2=\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}\)。

所以方程组的通解为 

\[{\bf x}=c_1e^{3t}\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix}+c_2e^{-t}\begin{pmatrix} 1\\ -2\end{pmatrix}. \]

例2,解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-2\\ 4&-1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:我们先求特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{pmatrix}3-\lambda& -2\\ 4& -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)+8=\lambda^2-2\lambda+5\]

所以我们得到特征值为 \(\lambda_{1,2}=1\pm2 i\),将\(\lambda_{1}=1+2 i\) 代入 \(A-\lambda I\),  我们得到

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-2i& -2\\ 4& -2-2i\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1-i& -1\\ 0&0\end{pmatrix}\]

从而我们得到其中一个特征向量为 \(\begin{pmatrix}1\\ 1-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}+i\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\)。所以方程的通解为

\[\begin{align}{\bf x}&=c_1e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\cos 2t-\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\sin 2t\right)+c_2e^{t}\left(\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\sin 2t+\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}\cos 2t\right)\\ &= c_1e^{t}\begin{pmatrix}\cos 2t\\ \cos 2t+\sin 2t\end{pmatrix}+c_2e^{t}\begin{pmatrix}\sin 2t\\ \sin 2t-\cos 2t\end{pmatrix}\end{align}\]

例3,解方程组

\[{\bf x}’=\begin{pmatrix}3&-4\\ 1& -1\end{pmatrix}{\bf x}\]

解:先求矩阵的特征值

\[|A-\lambda I|=\begin{vmatrix}3-\lambda& -4\\ 1& -1-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.\]

所以我们得到二重特征值 \(\lambda_{1,2}=1\)。我们再来求特征向量,

\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-2\\ 0&0\end{pmatrix}.\]

从而我们只能得到一个特征向量 \(\xi=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\)。所以方程组的一个线性无关的解为 \(e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\),为要求得另一个解,我们解线性方程组 \[(A-\lambda I) \eta=\xi,\] 也就是求解

\[\begin{pmatrix}2&-4\\ 1&-2\end{pmatrix}\eta=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}\]

这个方程组的一个解为 \(\eta=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\),所以我们可以得到微分方程组的通解为 

\[{\bf x}=C_1e^t\xi+C_2e^t(t\xi+\eta)=C_1e^t\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}+C_2e^t\begin{pmatrix}2t+1\\ t\end{pmatrix}\]

如何用降阶法求二阶常系数线性微分方程的解

对于二阶常系数线性微分方程,不管是齐次的方程还是非齐次的方程,都可以用降阶法来求解。这种方法,优点有两个,第一个优点是,不管方程是齐次的还是非齐次的,都可以用统一的方法来求解;第二个优点是,对于非齐次方程来说,不管非齐次项具有什么形式,与特征根有什么关系,处理方法是一样的。缺点就是积分的计算量比较大。

对于二阶常系数线性微分方程,不管是齐次的方程还是非齐次的方程,都可以用降阶法来求解。这种方法,优点有两个,第一个优点是,不管方程是齐次的还是非齐次的,都可以用统一的方法来求解;第二个优点是,对于非齐次方程来说,不管非齐次项具有什么形式,与特征根有什么关系,处理方法是一样的。缺点就是积分的计算量比较大。

我们用例子来说明,怎么样用降阶法来求二阶常系数线性微分方程。

例1:求解微分方程

\[y^{\prime\prime}-5y’+6y=xe^x\]

解:方程可以写成

\[\begin{align*}& y ^{\prime\prime} -2y’-3y’+6y=xe^x \\ \Longrightarrow& (y ^{\prime\prime} -2y’)-3(y’-2y)=xe^x \\ \Longrightarrow & (y’-2y)’-3(y’-2y)=xe^x\\ \end{align*}\]

这时候,如果令 \(z= y’-2y \),则方程变为

\[z’-3z=xe^x\]

这是一个一阶线性微分方程,我们知道它的解为

\[\begin{align*}z&=e^{3x}\left(\int e^{-3x}xe^xdx+ C_1\right)\\ &= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x}\end{align*}\]

代回到原来变量,我们有

\[y’-2y= C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} \]

这依然是一个一阶线性微分方程,它的解为

\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{3x}-\frac{1}{2}xe^{-x}-\frac{1}{4}e^{-x} )dx+C_2\right)\\ &=C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+\frac{1}{18}e^{-3x}+\frac{1}{12}e^{-3x}\\ &= C_1e^{3x}+C_2e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{-3x}+ \frac{5}{36}e^{-3x}\end{align*}\]

这里我们演示了如何利用降阶法来求二阶常系数线性微分方程的解。事实上,如果齐次微分方程对应的特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 有两个特征根 \(\lambda_1,\lambda_2\) (不管是不是重根,是不是实根),则微分方程

\[y^{\prime\prime}+py’+qy=f(x)\]

可以写成

\[\qquad y^{\prime\prime}-(\lambda_1+\lambda_2)y’+\lambda_1\lambda_2y=f(x) \]

\[\Longrightarrow(y’-\lambda_2y)’-\lambda_1( y’-\lambda_2y )=f(x)\]

这时候,我们只需要令 \(z= y’-\lambda_2y \),就可以将二阶方程化成一阶方程了。这就是降阶法的基本思想。

我们再来看一看重根和复根的情形。

例2:求方程的通解:

\[y^{\prime\prime}-4y’+4y=e^{2x}\sin x\]

解:方程的特征方程为 \(r^2-4r+4=0\),它有重特征根 \(\lambda_{1,2}=2\),所以方程可以写成\[(y’-2y)’-2(y’-2y)= e^{2x}\sin x \]

作代换 \(z= y’-2y \),则方程变为 \(z’-2z= e^{2x}\sin x \),它有解

\[\begin{align*}z&=e^{2x}\left(\int e^{-2x} e^{2x}\sin x dx+C_1\right)\\ &=C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x\end{align*}\]

代回原来变量,我们得到

\[y’-2y= C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x \]

它的解为

\[\begin{align*}y&=e^{2x}\left(\int e^{-2x}( C_1e^{2x}-e^{2x}\cos x )dx+C_2\right)\\ &=C_1xe^{2x}+C_2e^{2x}-e^{2x}\sin x\end{align*}\]

例3:求方程的通解:

\[y^{\prime\prime}+4y=e^x\]

解:这个方程的特征方程为 \(\lambda_{1,2}=\pm 2i\),所以方程可以分解成

\[(y’-2iy)’+2i(y’-2iy)=e^x\]

作代换 \(z= y’-2iy \),则方程变为 \(z’+2iz=e^x\),它的解为

\[\begin{align*}z&=e^{-2ix}\left(\int e^{2ix}e^xdx+C_1 \right) \\ &=C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \end{align*}\]

回到原来变量,我们有

\[y-2iy= C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x \]

它的解为

\[\begin{align*}y&= e^{2ix}\left(\int e^{-2ix}\left( C_1 e^{-2ix} +\frac{1 }{1+2i} e^x dx\right)+C_2 \right)\\ &=C_1e^{-2ix}+C_2e^{2ix}+\frac{1}{5}e^x \end{align*}\]

这里的\(C_1\) 与第一个等式的 \(C_1\) 相差一个复数常数。应用欧拉公式(Euler 公式)\(e^{ix}=\cos x+i\sin x\),上式变成

\[\begin{align*}y&=C_1(\cos 2x-i\sin 2x)+C_2(\cos 2x+i\sin 2x)+ \frac{1}{5}e^x \\ &=(C_1+C_2)\cos 2x+i(C_2-C_1)\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \\&=\tilde{C_1}\cos 2x+\tilde{C_2}\sin 2x+ \frac{1}{5}e^x \end{align*}\]

我们仍然用 \(C_1,C_2\)表示 \(\tilde{C_1},\tilde{C_2}\),那么方程的通解为

\[y=C_1\cos2x+C_2\sin2x+ \frac{1}{5}e^x \]

从以上的计算我们可以看出,不管特征根是单根、重根还是复根,处理的方式是一样的。而且我们也看出,我们也不需要考虑非齐次项的形式。这与我们通常采用的待定系数法有根本的区别。

这种降阶法可以应用到高阶常系数线性微分方程。事实上,这种降阶法也称之为算子法或者算子分解法。算子法更一般的处理方式,我们就不展开论述了。

一阶线性微分方程的积分因子法

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

对于一阶线性微分方程\[y’+p(x)y=f(x)\]来说,一般教材采用常数变易来导出解的公式。事实上,我们也可以使用积分因子法来求解这类方程。

积分因子法的基本思想就是,将方程乘以 一个函数,将方程的右边变成一个函数的导数,然后两边积分,就可以求出未知函数了。

对于 一阶线性微分方程来说,积分因子是比较好找的,因为含有未知函数的就只有两项,导数含有两项的就是两个函数的乘积了。

我们假设方程有一个积分因子\(\mu(x)\),我们现在将它找出来。将它乘以方程两边,我们得到

\[\mu(x)y’+\mu(x)p(x)y=\mu(x)f(x)\]

因为第一项是 \(\mu(x)y’\),所以右边只能是 \((\mu(x)y)’\),利用乘积求导法则,我们知道 \(\mu(x)p(x)=\mu'(x)\),利用分离变量法,可以求出它的一个解

\[\mu(x)=e^{\int p(x)dx}\]

也就是说,这个积分因子是\( e^{\int p(x)dx}\),将它乘以方程两边,我们得到

\[( e^{\int p(x)dx} y)’= e^{\int p(x)dx} f(x)\]

两边积分 ,我们得到

\[ e^{\int p(x)dx} y =\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C \]

再将两边乘以 \( e^{-\int p(x)dx} \),就得到了方程的解

\[ y = e^{-\int p(x)dx} \left(\int e^{\int p(x)dx} f(x) +C\right) \]

这个公式 ,与我们用常数变易法求得的公式是一致的。