Posted on

有效提高数学成绩的几个方法

学好数学,第一要点是要做足够的习题。只有足够的练习,才能准确、熟练地掌握所学的内容。

这一点,是所有数学老师都会强调,而且每个家长都清楚的一个道理。所以我不打算在这里过多强调这一点。

我们经常碰到有些学生,明明掌握了所学的知识点,但在考试中会出现这样那样的问题,例如,时间不够,简单的计算错误,对一些复杂的式子不知所措等等,这些都极大地影响了最后的学习成绩。

针对这些情况,我们讨论一些平时不太让人注意,但是却很能影响考试成绩的一些方法与技巧。

第一,先化简,再计算。每做一步,化简一步,再进行下一步计算。化简之后,计算会变得更简单,更不容易出错,可以更快并且更准确地得到答案。

例如,分式的乘法运算,要先化简,再做乘法(除法也是用乘法来算)

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{7}{\cancel{8}2}\times\frac{\cancel{4}}{5}=\frac{7}{10}\]

但是事实上,很多同学是这样做的

\[\frac{7}{8}\times\frac{4}{5}=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{4}\times 7}{\cancel{4}\times 10}=\frac{7}{10}\]

至少多了一步。更有甚者,

\begin{align*}\frac{7}{8}\times\frac{4}{5} &=\frac{28}{40}=\frac{\cancel{2}\times 14}{\cancel{2}\times 20}\\ &=\frac{14}{20}=\frac{\cancel{2}\times 7}{\cancel{2}\times 10}\\ &=\frac{7}{10}\end{align*}

这就多了好几步。如果数字再大一点,那就更不得了。当然,这除了不会先简化以外,还涉及到基本的计算能力的问题,这就是我们第二点要讲的方法,平时做题尽量不用计算器。

我们再来看一个化简的问题,解方程

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

这样的方程,两个根号,两边直接平方的话,左边会再出现一个根号,而且根号里面是一个二次多项式,然后再平方,计算量就大。那么我们先把其中一个根号放到右边去,

\[\sqrt{x+19}=7-\sqrt{x-2}\]

再平方,

\[x+19=49-14\sqrt{x-2}+x-2\]

合并同类项,将根号放到左边,其余的放到右边(也可以反过来,根号放右边,其余放左边,但这样的话,根号就是负的,多一个东西在那里,我个人是不喜欢的。)

\[14\sqrt{x-2}=49+x-2-x-19,\]

\[14\sqrt{x-2}=28\]

有些同学这里就直接两边平方了,不管是 \(14\) 还是 \(28\) 的平方都是不小的数啊!但事实上,只要两边除以 \(14\),就得到

\[\sqrt{x-2}=2\]再两边平方,多简单,

\[x-2=4,\quad x=6\]

再把答案代入方程,成立。所以方程的解是 \(x=6\)。

这里我们就是,每做一步,化简一步,这样计算量小,速度快,而且不容易出错。

第二,尽量不依赖计算器。北美的学生尤其依赖使用计算器,这使得他们的基本计算技巧特别弱。在碰到一些不准用计算器的考试中,在一些基本的计算上花费太多的时间,从而会造成时间不够或者不能够充分思考的情况下答题。我碰到一些学生,特别是北美本地长大的学生,甚至到了大学,基本的四则运算都不熟练。

第三,简化运算式。这跟之前化简不一样,化简是将一些数字、运算式约掉,但简化是通过一些运算,将复杂的式子变成相对简单的运算式,再对简化后的式子进行运算。

例如,我们对二次多项式进行因式分解

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}\]

这样的二次多项式,即使你很熟悉因式分解,也是很难直接分解出来的。但是如果我们这样做

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(8x^2-6x-5)\]

然后对括号里的部分进行分解,就容易多了。利用交叉相乘的方法,很快就可以分解出来

\[\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}(2x+1)(4x-5)\]

第四,使用分数而不是小数进行运算,使用 \(\pi, e\) 等进行运算,而不是使用 \(3.14, 2.72\) 等进行运算。使用根式而不是用小数进行运算。

同样的一个数,小数的计算量要比分数的计算量大得多。我们看一个例子,这是我前几天跟几个同学讨论问题的碰到的。求二次函数 \[y=x^2+5x+19\] 的顶点。

标准的做法就是配方法,同学是这样做的

\begin{align*}y=x^2+5x+19=(x^2+5x)+19\\&=(x^2+5x+2.5^2)-2.5^2+19\\&=(x-2.5)^2-6.25+19\\ &=(x-2.5)^2+12.75\end{align*}

所以顶点为点 \((2.5,12.75)\)。我当时就说,能够用分数,就不要用小数。你们看,\(2.5\) 的平方,本质上就是 \(25\) 的平方,两位数的平方,但是如果是用 \(\frac{5}{2}\) 的平方,就是两个一位数的平方,是不是简单得多?\(2\) 和 \(5\) 的平方,即使是两个数的平方,也比一个两位数的平方容易计算得多!不信,如果我们换一个数字

\[y=x^2+9x+19\]

那就需要计算 \(4.5\) 的平方,这个数估计一般人心算不出来,得用竖式乘法来算。而 \(\frac{9}{2}\) 的平方,几乎每个人都可以在一秒内算出来 。

一句话,尽量避免小数的运算。能够用分数、根式、\(\pi, e\) 这些进行运算的,就不要使用小数。如果考试要求用小数表示出来,也是在最后一步化成小数。

第五,当解题方式有几种选择时,选取最快,最简便的解题方式。例如,解二次方程时,能够用因式分解就不要用二次根式解的公式。因式分解时,交叉相乘是最快的方式,而不是先将 \(a,c\) 相乘,再分解,再除以 \(a\) 的方式。

我们前面那个解方程的例题,

\[\sqrt{x+19}+\sqrt{x-2}=7\]

我们可以两边同时平方,然后再移项,简化,但是得到的式子却复杂多了,虽然也能解出来 ,但是效率却差了很多!

第六,记住所有重要的公式,而不依赖于公式纸。北美的考试中,大部分都有一张 cheat sheet,也就是公式表。我经常跟学生说,不要去看那张纸,如果依赖于那个公式表来答题,肯定不会有好成绩,因为你效率太低了呀。你有多少时间花在找公式的过程中去了。考试是有时间限制的,你花太多时间在找公式中,那么留给你答题的时间就少了呀。如果你记住了这些公式,你答题时,就不需要去花时间翻公式表。更糟糕的是,有时候你即使你看了公式表,你也不知道该用哪个公式!

当然,记住重要的公式,不是让学生去背这个公式表。这些公式都是通过不断的练习中记住的。我也经常跟学生说,做题时,也不应该去看着公式表来做题。只有当你需要确定你使用的公式是否正确的情况下,才去看公式表。这样记住的公式才记得牢,用得准,算得快。

Posted on

抽象的数学怎么学

(这是我在博雅教育学会公益讲座的讲稿,现在整理出来供大家参考)

这是当时 的讲稿,可以下载:

我们知道,数学越学到后面,概念越来越抽象,运算也越来越抽象。我们要怎么样学才会比较容易呢?

我用一句话概括,就是:抽象的数学要用具体的例子和计算来学。

这样说,是不是太抽象了呀?那我们就用一些具体的例子来说明这句话。

先看两个简单的、高中的例子。

我每年在辅导学生的时候,都会碰到类似这样做题的:

\[\require{cancel}\frac{6-x}{2x}=\frac{6-\cancel {x}}{2\cancel {x}}=\frac{5}{2}\]

一般的情况下,我不会跟学生说对不对,也不会说哪里错了,我会问,如果 \(x=2\),那会怎么样呢?

\[\frac{6-2}{2\cdot 2}=\frac{5}{2} ?\]

学生简单一算,两边不相等,就知道这样运算是不对的。然后我再告诉他们,什么样才是对的。

变量对于初高中生来说,是比数字更抽象的概念,那么理解关于变量的运算或者相关概念的时候,数字就是具体的例子。

第二个例子,就是复合函数的定义。

两个函数 \(f\) 和 \(g\) 的复合函数 \(f\circ g\) 的定义为

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))\]

意思就是我们用 \(g(x)\) 来代替 \(f(x)\) 表达式里的所有的 \(x\)。例如

\[f(x)=x^2+x+3, g(x)=2x+1\]

那么 \[(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)^2+(2x+1)+3\]

这么讲,还是很多同学不能理解这个概念,那么我一般是这么进行的,问

\[f(2)=?\]

这时候基本上都会

\[f(2)=2^2+2+3\]

同样的再问几个同样的问题

\[f(5)=5^2+5+3=33,\cdots\]

这时候,基本上知道是用括号里的数字代替 \(x\),进一步,用别的字母代替数字,

\[f(a)=a^2+a+3, f(b)=b^2+b+3\]

更进一步用别的字母的表达式代替数字

\[f(a+1)=(a+1)^2+(a+1)+3\]

这时候基本上就懂了,知道是用括号里的表达式来代替原本 \(f(x)\) 表达里的所有 \(x\),

\[f(2x+1)=(2x+1)^2+(2x+1)+3\]

这两个例子都是用数字来具体化变量,因为相对于数字来说,变量就是抽象的。碰到变量相关的概念和运算,用具体的数字来举例,就比较容易理解了。

接下来的例子来自于大学课程。首先是无限并与无限交的概念。

设 \(\displaystyle A_n=(-\infty,-\frac{1}{n}]\cup[\frac{1}{n},\infty)\),求

\[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n,\quad \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\]

这样的问题,有些同学看到这么一大堆符号,首先就懵了。实际上,对于无限的运算,我们先写出有限项来,然后可以看出一些规律。

我们先把表达式写得更具体一些

\[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots\]

\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=A_1\cap A_2\cap A_3\cap\cdots\]

然后把 \(A_1,A_2,A_3,\cdots\) 的具体表达式写出来,

\begin{align*}&A_1=(-\infty,-1]\cup[1,\infty), A_2=(-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[\frac{1}{2},\infty),\\ & A_3=(-\infty,-\frac{1}{3}]\cup[\frac{1}{3},\infty),\cdots\end{align*}

现在可以看出,\(A_1\subset A_2\subset A_3\subset\cdots\),\(A_1\) 是所有其它集合的子集,从而

\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=A_1\cap A_2\cap A_3\cap\cdots=(-\infty,-1]\cup[1,\infty)\]

同理,

\[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=A_1\cup A_2\cup A_3\cup\cdots=\lim_{n\to\infty}A_n= (-\infty,0)\cup(0,\infty)\]

这里我们把比较抽象的无限运算用有限的几个集合的具体表达式就算出来了。

我们再看一个集合族的问题。事实上,这个问题是我这个讲座的最初的来源。

\[X_t=\left\{x\in\mathbb{R}\Big| 1+\frac{1}{t}<x<2+\frac{1}{t}\right\}\]

\[\bigcap_{t>0}X_t,\quad \bigcap_{t>1}X_t, \quad \bigcup_{t>0}X_t\]

这样的集合族,都没办法象之前那个例子一样,列出全部的集合来。因为 \(t>0, t>1\) 都是不可数集。我在当时跟问这个问题的同学说,你先列几个集合出来看看,或许就可以找到答案了。

我们这样试一下,

\[X_{0.001}=\{x|1001<x<1002\}=(1001,1002)\]

\[ X_1=(2,3), X_2=(\frac{3}{2},\frac{5}{2}), X_{1000}=(1.001,2.001),\cdots\]

观察一下,就知道,\(X_{0.001}\) 和 \(X_1\) 都是不相交的,或者它们的交集是空集,那么集合族的交集自然是空集。也就是说

\[\bigcap_{t>0}X_t=\emptyset\]

另外 \(t\) 越大, \(X_t\) 越接近于 \((1,2)\),\(t\) 越小,\(X_t\) 越接近于长度为 \(1\) 的区间,其端点趋近于无限远。所 以

\[ \bigcup_{t>0}X_t=(1,\infty)]\]

而 \(t>1\) 时,

\[X_{1.001}=(1.999,2.999),\]

\[ X_2=(\frac{3}{2},\frac{5}{2}),X_{1000}=(1.001,2.001),\cdots\]

可以看出,所有 \(X_t\) 只有一个共同点 \(2\),也就是

\[\bigcap_{t>1}X_t={2}\]

这里我们可以看到,不可数的集合,我们可以用可数的集合来具体化运算,可以简化或者帮助我们理解与运算。

接下来看两个抽象的概念。

我们说一个 \(\mathbb{R}^n\) 上的一个子集 \(\mathcal {U}\) 是一个线性子空间是指它满足这三个条件:

(1)\(\vec{0}\in\mathcal{U}\);

(2)如果 \(\vec{x},\vec{y}\in\mathcal{U}\),那么 \(\vec{x}+\vec{y}\in\mathcal{U}\);

(3)如果 \(\vec{x}\in\mathcal{U}\),那么对任意的 \(\lambda\in \mathbb{R}\),有 \(\lambda\vec{x}\in\mathcal{U}\)。就是任何两个元素之和在集合里面,任何一个元素的数乘也在集合里面。

我们用一个例子来说明这个概念。

集合\[\mathcal{U}=\left\{\vec{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}, x,y\in\mathbb{R}\right\}\]

是 \(\mathbb{R}^3\) 上的一个线性子空间。

但是这个例子还是有点抽象,那我们用更加具体的例子来说明。这个例子说的是,一个集合是由这样的向量组成:第一个分量和第二个分量是任意的数,第三个分量是 \(0\),那么这样的两个向量是在这个集合里的

\[\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\in\mathcal{U},\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}\in\mathcal{U}\]

它们的和也是这种形式的,对它们乘以一个数也是这种形式的,

\[\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\in\mathcal{U}, \quad 3\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\0\end{pmatrix}\in\mathcal{U}\]

所以两向量的和也在这个集合里,数乘也在这个集合里面,所以这个集合就是一个线性子空间。

最后我们看一个本科高年级的概念:拓扑

一个集合 \(X\) 上的拓扑是指 \(X\) 的一个子集的集合 \(\mathcal{T}\),满足:

(1)\(X\in\mathcal{T},\emptyset\in\mathcal{T}\):

(2) 任何个 \(\mathcal{T}\) 里的元素的并也在 \(\mathcal{T}\) 里 (无限并在 \(\mathcal{T}\) 中);

(3) \(\mathcal{T}\) 中有限个元素的交也在 \(\mathcal{T}\) 中(有限交在 \(\mathcal{T}\) 中)。

我们很多拓扑学教材,或者泛函分析的教材,对拓扑的举例也都是一些比较抽象的例子,基本上是函数空间或者其它的无限维空间,使得这些例子对于理解这个概念并无多大帮助。其实越简单的例子,越能帮助理解。我们来看一个简单的例子:

设 \(X=\{a,b\}\), 则 \(X\) 的所有子集为 \(\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{a,b\}\}\),我们可以定义 \(\mathcal{T}=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\}\}\)。那么可以直接验证

(1)\(\displaystyle\emptyset\in\mathcal{T},\quad X=\{a,b\}\in\mathcal{T}\)

(2)\[\emptyset\cup\{a\}=\{a\}\in \mathcal{T},\]

\[ \emptyset\cup\{a,b\}=\{a,b\}\in\mathcal{T}, \]

\[\{a\}\cup\{a,b\}=\{a,b\}\in\mathcal{T}\]

\[ \emptyset\cup\{a\}\cup\{a,b\}=\{a,b\}\in\mathcal{T}\]

(3)\[\emptyset\cap\{a\}=\emptyset\in\mathcal{T}\]

\[\emptyset\cap\{a,b\}=\emptyset\in\mathcal{T}\]

\[\{a\}\cap\{a,b\}=\{a\}\in\mathcal{T}\]

\[\emptyset\cap\{a\}\cap\{a,b\}=\emptyset\in\mathcal{T}\]

我们看到拓扑所要求的三个条件都满足,所以 \(\mathcal{T}\) 是 \(X\) 的上拓扑。

另外一个例子,定义 \(\mathcal{T}_2=\{\emptyset,\{a\},\{b\}\}\),那么 \(\mathcal{T}_2\) 不是 \(X\) 上的一个拓扑。因为

\[\{a\}\cup\{b\}=\{a,b\}=X\notin\mathcal{T}_2\]

所以 \(\mathcal{T}_2\) 不是 \(X\) 上的拓扑。

最后几句话。

(1)例子越简单,越具体,越能理解抽象的定义与定理;

(2)例子不能代替证明,只能帮助理解;

(3)高年级的课程,总是能在低年级课程里面找到例子。