线性代数必会技巧细说

线性代数所有的计算基本上基于一个技巧:初等变换。如果掌握初等变换及其相应的计算,线性代数就变得容易了。

公共课的线性代数,它的所有的计算基本上基于两个技巧:初等变换,行列式的计算。当然,这里不包括数学系的线性代数或者高等代数课程,数学系的线性代数或者高等代数,不以计算为主。

公共课的线性代数,计算基本上离不开这两个技巧。甚至,可以将行列式的计算也归入到初等变换中来,这样,线性代数的计算技巧就只有一个:初等变换。掌握了这个技巧,那么线性代数的计算将不是一个问题。我们将这个题目细细地述说一下。

一、解线性方程组及判定方程组有解无解:只需要将系数矩阵(齐次线性方程组)或者增广矩阵(非齐次线性方程组)作初等变换,将它们化成行最简矩阵,则可以直接写出方程组的解(或者判定方程组有解无解)。例如,对线性方程组 \(A\vec{x}=\vec{b}\),其中
\[A=
\begin{pmatrix}
1& 1& 2& 3\\
2& 0& 0& 2\\
3 &2& 4& 7
\end{pmatrix},\quad
\vec{b}=
\begin{pmatrix}
1\\
4\\
4
\end{pmatrix}
\]

的增广矩阵作初等变换,化成行最简矩阵,

\[
(A,\vec{b})=
\begin{pmatrix}
1& 1& 2& 3 &\vdots& 1\\
2& 0& 0& 2&\vdots& 4\\
3 &2& 4& 7 &\vdots& 4
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1& 0& 0&1 &\vdots&2\\
0& 1& 2& 2&\vdots& -1\\
0 &0& 0& 0&\vdots& 0
\end{pmatrix}
\]

则方程组的解为

\[
\vec{\xi}=c_1
\begin{pmatrix}
0\\
-2\\
1\\
0
\end{pmatrix}+c_2
\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
0\\
1
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
2\\
-1\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\]

这一部分,可以参考文章如何快速地写出方程组的解?

二、求行列式。求数字行列式的基本方法是降阶法,就是先用初等变换,将行列式的一行或者一列化成只有一个不为 \(0\),然后按这一行或者这一列展开,行列的阶就降了一阶,依次进行,最后变成二阶行列式,就可以利用二阶行列式的公式计算了。例如

\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ -1&-1&2&1\\ 2&5&2&4\\ 1&2&3&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ 0&0&1&4\\0&3&4&-2\\0&1&4&-1\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix} 0&1&4\\3&4&-2\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&1&4\\0&-8&1\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4\\-8&1\end{vmatrix}=33\end{align*}

就是先将第一列化成只有一个元素不为 \(0\),然后再将行列式按第一列展开,从四阶变成三阶;然后再做初等变换,将新的行列式的第一列化成只一个元素不为 \(0\),再按照第一列展开,变成二阶行列式,最后利用二阶行列式的公式得到了行列式的值。

这一部分,可以参考课程行列式的性质及其计算

三、求逆矩阵。求逆矩阵的方法是将方阵与单位矩阵横排成一个新的矩阵,再对这个矩阵作初等变换,当矩阵的左边,就是原方阵,变成单位矩阵的时候,右边的矩阵,就是单位矩阵就变成了原方阵的逆矩阵了。例如,求 \(A=\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&0&3\\ 4&-3&8\end{pmatrix}\) 的逆矩阵。

\begin{align*}(A,I)&=\begin{pmatrix}0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 1&0&3&\vdots&0&1&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 4&-3&8&\vdots&0&0&1\end{pmatrix} \\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&-3&-4&\vdots&0&-4&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0&3&\vdots&0&1&0\\0&1&2&\vdots&1&0&0\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1&0&0&\vdots&-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\0&1&0&\vdots&-2&4&-1\\ 0&0&1&\vdots&\frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{align*}

所以 \(A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}&7&-\frac{3}{2}\\-2&4&-1\\ \frac{3}{2}&-2&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

这一部分,可以参考文章如何求矩阵的逆矩阵?

四、判断向量组线性相关还是线性无关。具体做法是,将(列)向量组横排成一个矩阵,然后将这个矩阵作初等变换,如果矩阵的秩(就是行阶梯矩阵的非零行的行数)小于向量的个数,就是线性相关;如果等于向量的个数,就是线性无关。例如,\(\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\), 问 \(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\) 是线性相关还是线性无关?

解法是,

\begin{align*}A&=(\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&2&0\\ 0&0&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&3&1\\ 0&0&3\end{pmatrix}\end{align*}

\(R(A)=3\),所以向量组线性无关。

五、求向量组的极大无关组,以及将其它向量用极大无关组线性表示。做法是,将(列)向量组横排成一个矩阵,将这个矩阵做初等变换,化成行最简矩阵,行最简矩阵的每一个非零行的第一个非零元所在的列,对应原矩阵的列向量,就是极大无关组的向量。行最简矩阵的各列之间的关系,就是原矩阵各向量之间的关系。例如,求向量组\[\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}, \vec{a}_3=\begin{pmatrix}9\\6\\-6\\9\end{pmatrix},\vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix},\vec{a}_5=\begin{pmatrix}4\\-3\\-2\\-9\end{pmatrix}\] 的极大无关组,并且将其它向量用极大无关组线性表示。

\[( \vec{a}_1 , \vec{a}_2 , \vec{a}_3 , \vec{a}_4 , \vec{a}_5 )=\begin{pmatrix} 1&-2&9&5&4\\ 1&-1&6&5&-3\\ -2&0&-6&1&-2\\ 4&1&9&1&9 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&3&0&0\\ 0&1&-3&0&-7\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \]

所以原向量组的一个极大无关组为

\[ \vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\1\\-2\\4\end{pmatrix},\quad \vec{a}_2=\begin{pmatrix}-2\\-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad \vec{a}_4=\begin{pmatrix}5\\5\\1\\1\end{pmatrix} \]

而其它两个向量可以用极大无关组表示

\[\vec{a}_3=3\vec{a}_1-3\vec{a}_2,\quad \vec{a}_5=-7\vec{a}_2-2\vec{a}_4 \]

这一部分的内容,可以参考文章如何求一个向量组的极大无关组,以及如何用极大无关组线性表示其它向量?

六、特征值、特征向量、矩阵的对角化。求特征值本质就是求行列式 \(|A-\lambda I|\),求特征向量就是解线性方程组 \((A-\lambda I)\vec{x}=0\),矩阵对角化就是将特征向量排成一个矩阵,就是前面几个部分的综合应用。这部分可以参考 线性代数复习:特征值、特征向量与矩阵对角化

七、行列式的计算:具体的数字行列式的计算,是利用初等变换得到。但也有一些计算方法,例如递推法,拆分法,是利用行列式的性质来进行计算,这些计算方法可以了解,不需要花大力气去掌握。实际上,行列的计算方法还有很多很多种,只是行列式在现代的线性代数里,没有一百多年前那么重要了,所以也没有必要花费太多的时间去研究。

八、正交化和投影。这是另一个不需要初等变换的地方,但需要掌握。这是内积空间的主要计算部分。

所以总的来说,如果初等变换不掌握,挂科、重修基本上是板上订钉的事儿了。当然如果掌握了上面所说的几个部分,线性代数应该就不太难了,不要说这门课有多精通,考试过关应该不成问题的。