有理函数的积分,并非只有部分分式法

部分分式积分法对有理函数并不总是最有效的,对于有些有理函数,采用其它的方法或许会更有效。

这篇文章我们考虑两个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx,\qquad \int\frac{x^2-1}{x^4+1}\]

这是两个有理函数的积分。我在之前的文章里说过 ,有理函数的积分,一般采用部分分式法,就是将有理函数分解成四种简单分式之和,然后对简单分式分别积分就行。对于有理函数的积分,总是能采用这种方法求得出它们的积分 (参见 不定积分求法总结)。 读者可以先试试用部分分式法求这两个积分,看看能不能积出来,需要花费多长时间。

我们的问题是,部分分式积分法对有理函数并不总是最有效的,对于有些有理函数,采用其它的方法或许会更有效。我们来看第一个积分

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx\]

对于这一个积分 ,如果采用部分分式法来积分 ,我们来看一下需要哪些步骤:

\[ \frac{1}{x^7-x} =\frac{1}{x(x^3-1)(x^3+1)}=\frac{1}{x(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)}\]

那么它的部分分式就该有五部分

\[\frac{A_1}{x}, \frac{A_2}{x-1},\frac{A_3}{x+1},\frac{B_1x+C_1}{x^2+x+1},\frac{B_2x+C_2}{x^2-x+1}\]

光是求这些系数就够烦琐的了,而且最后两个二次分式的积分还需要分成两个积分来求 。虽然这也能求出最后的积分,但这中间的过程绝不是一件有趣的事。

其实,这样的积分 ,我们有一种更有效,更简单的方式来求。我们来看解答。

解:积分可以写成

\[\int\frac{1}{x^7-x}dx=\int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx\]

如果我们令 \(u= 1-\frac{1}{x^6} \),则 \(du=\frac{6}{x^7}\),则上式变为

\[\begin{align*} \int\frac{1}{x^7(1-\frac{1}{x^6})}dx &=\frac{1}{6}\int\frac{6}{x^7}\frac{1}{1-\frac{1}{x^6}}dx\\ &= \int\ \frac{1}{6}\frac{1}{u}du\\ &=\frac{1}{6}\ln|u|+c \\ &=\frac{1}{6}\ln|1-\frac{1}{x^6}|+c\end{align*}\]

我们来看第二个例子。

\[\int\frac{x^2-1}{x^4-1}dx\]

解:这个积分初看起来,甚至都不知道怎么对分式进行分解(当然是可以进行分解的,只是不那么明显而已,你可以试一试)。但即使是我们找到了它的分解方式,使用部分分式法来求这个积分,也不是最有效的。 我们来看一下如何简便地求出这个积分。我们先对分子分母同除以 \(x^2\),得到了

\[\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\]

再对分母配方,我们得到

\[\int\frac{ 1-\frac{1}{x^2} }{(x+\frac{1}{x})^2-2}dx\]

这个时候注意到 \(\left( x+\frac{1}{x} \right)’= 1-\frac{1}{x^2} \),所以我们可以用代换 \(u= x+\frac{1}{x} \),从而积分可以变成

\[\int\frac{du}{u^2-2}\]

这时候我们再用部分分式 \[ \frac{1}{u^2-2}=\frac{1}{(u-\sqrt{2})(u+\sqrt{2})}=\frac{A}{u-\sqrt2}+\frac{B}{u+\sqrt2} \]

求出 \(A,B\),我们得到 \(A=\frac{1}{2\sqrt2}, B=-\frac{1}{2\sqrt2}\)。所以积分 变为

\[ \begin{align*}\int\frac{du}{u^2-2} &= \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u-\sqrt2}- \frac{1}{2\sqrt2} \int\frac{du}{u+\sqrt2}\\ &= \frac{1}{2\sqrt2}( \ln|u-\sqrt2|+\ln|u+\sqrt2|)+C\\ &= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2} \right|+C \end{align*}\]

代回原来变量,我们得到了

\[\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx= \frac{1}{2\sqrt2} \ln\left|\frac{x+\frac{1}{x}-\sqrt2}{x+\frac{1}{x}+\sqrt2} \right|+C \]

最后,我们看看,如果要用部分分式法求解,如何对被积函数进行分解。我们需要对分母进行配方

\[\begin{align*}\frac{x^2-1}{x^4+1}&=\frac{x^2-1}{(x^4+2x^2+1)-2x^2}\\ &=\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2-2x^2}\\ &= \frac{x^2-1}{(x^2+1-\sqrt{2}x)(x^2+1-\sqrt{2}x)}\\ &= \frac{A_1x+B_1}{x^2+1-\sqrt{2}x}+\frac{A_2x+B_2}{x^2+1-\sqrt{2}x} \end{align*}\]

剩下的部分留给读者去完成 。