挑战微积分答案

问题1:求不定积分

    \[\int\frac{1-\ln x}{x^2+\ln^2x}dx.\]

答案:我们对被积函数变形得

    \[\int\frac{1-\ln x}{x^2+\ln^2x}dx=\int\frac{\frac{1}{x^2}-\frac{\ln x}{x^2}}{1+\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2}=\int\frac{d\left(\frac{\ln x}{x}\right)}{1+\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2}=\arctan\left(\frac{\ln x}{x}\right)^2+C\]

问题2:求不定积分

    \[\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}dx.\]

答案:我们看到被积函数的分母是一个多项式的平方, 那么在求导公式 里,分母里是平方的,就是商的求导公式\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}。如果我们设 g(x)=x^5+x+1,那么 f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=4x^5-1,也就是说

    \[f'(x)(x^5+x+1)-f(x)(5x^4+1)=4x^5-1\]

因为分子分母都是多项式,那么 f(x) 也是多项式。多项式的导数比多项式本身低一阶。所以我们有:

    \[f'(x)x^5-5f(x)x^5=4x^5, \quad f'(x)x-f(x)=0, \quad f'(x)=-1\]

所以我们可以得到 f(x)=-x,也就是说 \left(\frac{-x}{x^5+x+1}\right)'=\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}。所以

    \[\int\frac{4x^5-1}{(x^5+x+1)^2}dx= -\frac{x}{x^5+x+1}+C .\]

问题3:求由曲线 y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^{2/3}x=y^3 所围成的平面图形的面积。

答案:求面积的话,我们先要求出交点,以便确定积分的上下限。将第二个曲线的方程代入第一个曲线的方程,我们有

    \[y^3-y^2-2=0\]

解此方程,我们得到 y_1=0,y_2=-1,y_3=2,所以交点为 (0,0),(-1,-1),(8,2)

现在的问题是,我们要求面积的话,需要知道哪个曲线在上方,哪个曲线在下方。对于第一个曲线,我们一般是不知道它长什么的样的。这时候我们该如何确定上、下曲线呢?

我们可以用一些数值来确定它们的位置。在区间 (-1,0),我们选择 x=-\frac{1}{27},那么第一个曲线为

    \[y=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{27})-\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{27})^{2/3}=-\frac{2}{27}\]

代入第二个曲线 ,我们有 y=-\frac{1}{3},因为 -\frac{2}{27}>-\frac{1}{3}。所以在 区间 (-1,0) 上,第一个曲线在上方。同理,我们可以选择 x=1,可以知道在区间 (0,8),第二个曲线在上方。所以面积为

    \begin{align*}A&=\int_{-1}^0\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x^{2/3}-x^{1/3}\right)dx+\int_0^8\left(x^{1/3}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x^{2/3}\right)dx\\ &=(\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{10}x^{5/3}-\frac{3}{4}x^{4/3})\Big|_{-1}^0+(\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{1}{4}x^2+\frac{3}{10}x^{5/3})\Big|_0^8\\&=\frac{69}{5}\end{align*}

问题4:设数列 \{x_n\} 由下式定义

    \begin{align*}x_n&=\frac{n+1}{9n^2+(n+1)^2}+\frac{n+2}{9n^2+(n+2)^2}+\cdots+\frac{9n}{9n^2+(9n)^2}\\&=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{k}{9n^2+k^2}\end{align*}

求此数列的极限。

答案:因为

    \[x_n=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{k}{9n^2+k^2}=\sum_{k=n+1}^{9n}\frac{\frac{k}{n}}{9+\left(\frac{k}{n}\right)^2}\cdot \frac{1}{n}\]

取极限后,我们发现这是定积分的定义,所以

    \[\lim_{n\to\infty}x_n=\int_1^9\frac{x}{9+x^2}dx=\frac{1}{2}\ln(9+x^2)\Big|_1^9=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3\]

问题5:设 x_1=1,数列 \{x_n\}由递推式

    \[x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}\]

所定义,证明数列 \{x_n\}收敛,并求其极限。

答案:递推式的极限,我们一般是用单调有界准则来证明其极限存在性。首先我们可以看到,如果极限存在,它的极限为 \sqrt{5}。因为两边取极限后,我们有

    \[A=\frac{5+3A}{3+A}\]

解这个方程,我们得到 A=\pm \sqrt5。但是显然 x_n>0,所以 A=\sqrt{5}

现在我们证明这个极限是有界的。我们用数学归纳法证明 0<x_n<\sqrt{5}x_1=1>0,所以很显然 x_n>0。我们现在证明 x_n<\sqrt{5}。首先 x_1=1<\sqrt{5},我们假设 x_n<\sqrt{5},我们希望能导出 x_{n+1}<\sqrt5。 因为 x_n<\sqrt5,我们对此不等式两边同乘以 3-\sqrt5(为什么乘以这个数?), 我们得到

    \[(3-\sqrt5)x_{n}<(3-\sqrt5)\sqrt5\]

展开,再移项,我们有

    \[5+3x_n<\sqrt5(3+x_n)\]

两边除以 3+x_n,我们就得到了

    \[x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}<\sqrt5\]

现在我们证明它是单调的。

    \[x_{n+1}-x_n=\frac{5+3x_n}{3+x_n}-x_n=\frac{5-x_n^2}{3+x_n}\]

因为 x_n<\sqrt5,所以我们知道上式大于 0,所以数列是单调的。

由单调有界准则,我们知道这个数列是有极限的。由第一段的叙述,它的极限为 \sqrt5

注记:证明这个数列单调有界,也可以完全用归纳法来证明。我们这里的证明方式,是给出了数学上的一种常见的方法 ,就是有些数字,实际上是通过“凑”的方式得到的,例如我们刚才在不等式两边乘以 3-\sqrt5,实际上是对 x_{n+1}=\frac{5+3x_n}{3+x_n}<\sqrt5这个不等式反向运算得到的。

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