已知函数的切线过曲线外一点,如何求该切线的方程?

这种题的迷惑性在于,一般它没有直接说点 \((a,b)\) 不在曲线上,这使得不少的同学直接把它当成直线上的点来计算切线的方程。

假如函数\(y=f(x)\) 的一条切线过点 \((a,b)\),如何求这条切线的方程?

这样的题通常有点迷惑性,有些同学经常是求出函数的导数后,想都不想就把 \((a,b)\) 的值代入到切线的方程里去,自然就求出了一个错误的方程。另外,这样的题也稍微有一点难度,纵然知道怎么求,也需要花一点点时间来计算。

我们用一个例子说明如何求这样的切线。

例:已知曲线 \(y=\frac{1}{x}\) 的切线过点 \((4,0)\) ,求该切线的方程。

解:这种题的迷惑性在于,它并没有直接说点 \((4,0)\) 不在曲线上,这使得不少的同学直接把它当成直线上的点来计算切线的方程。当然这个例子,比较明显这个点不在直线上。那我们来看一看如何处理这种题型。

我们假设切线与曲线相切于点 \((x_0,y_0)\),则切线的方程为

\[y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\]

我们求出函数的一阶导数为 \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。所以曲线在该点的切线方程为

\[ y-y_0=-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0) \]

因为 \((x_0,y_0)\) 在曲线上,所以有 \(y_0=\frac{1}{x_0}\),所以切线方程为

\[y= -\frac{x}{x_0^2}+\frac{2}{x_0} \]

又因为切线过点 \((4,0)\) ,所以切线方程又可以写成

\[ y= -\frac{1}{x_0^2}(x-4) \]

将这两个方程比较 ,我们得到

\[ \frac{2}{x_0} = \frac{4}{x_0^2} \]

两边同乘以 \(x_0^2\),我们得到 \(x_0=2\),代入到上面任何一个切线方程里,就可以得到切线的方程为

\[y=-\frac{1}{4}x+1\]

对于这种类型的题目,关键步骤是求出切点的坐标。求切点坐标的方法就是将导数给出的切线方程与用已给点的导出直线方程做比较。只要求出切点,切线的方程就出来了。