如何计算旋转体的体积?

我们总结了一下,如何用切片法与圆桶法来求旋转体的体积。

当平面图形绕着某一直线(旋转轴)旋转时,所得到的旋转体的体积,我们可以用切片法或者圆桶法求出。(详见切片法求旋转体的体积圆桶法求旋转体的体积)总结起来,有几种情形:

情形1: 平面图形由 \(y=f(x), x=a, x=b\) 以及 \(x\) 轴围成,

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利用切片法,这个图形绕 \(x\) 旋转所得的体积为\[V_x=\int_a^b\pi f^2(x)dx\]

而它绕 \(y\) 轴所得的体积,我们利用圆桶法求得它的体积为\[V_y=\int_a^b 2\pi xf(x)dx\]

情形2:如果平面图形由 \(x=h(y), y=c,y=d\) 以及 \(y\) 轴围成,Rendered by QuickLaTeX.com

那么由圆桶法,绕 \(x\) 轴旋转的体积为 \[V_x=\int_c^d2\pi yh(y)dy\]而由切片法,可以得到绕 \(y\) 轴旋转所得的旋转体体积为\[V_y=\int_c^d\pi h^2(y)dy\]

情形3:如果平面图形由两条曲线 \(y=f(x), y=g(x)\)以及两条直线 \(x=a,x=b\) 所围成,Rendered by QuickLaTeX.com

那我们用上曲线旋转所得的体积减去下曲线旋转所得的体积,则得到绕 \(x\) 旋转的体积为\[V_x=\int_a^b\pi (f^2(x)-g^2(x))dx\]同样,绕 \(y\) 轴旋转所得的体积为 \[V_y=\int_a^b2\pi x(f(x)-g(x))dx\]

情形4:类似可以得到由 \(x=h_1(y), x=h_2(y) \) 以及 \(y=c,y=d\) 围成的图形分别绕 \(x\) 轴及 \(y\) 轴旋转所得的体积

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\[V_x=\int_c^d2\pi y(h_2(y)-h_1(y))dy, \quad V_y=\int_c^d\pi (h_2^2(y)-h_1^2(y))dy\]

现在我们来看几个例子。

例1:求由曲线 \(y=e^x, x=\ln 3\) 以及两个坐标轴所围成的图形分别绕 \(x\) 轴与绕 \(y\) 轴旋转所得的旋转体的体积。

解:与求平面图形的面积一样,我们先画出区域的图形。

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所以,由切片法得到绕 \(x\) 旋转所得的体积为

\[V_x=\int_0^{\ln 3}\pi (e^x)^2dx=\pi\int_0^{\ln 3}e^{2x}dx=\frac{\pi}{2}e^{2x}\Big|_0^{\ln 3}=8\pi\]

由圆桶法得到绕 \(y\) 轴旋转所得的体积为 

\[V_y=\int_0^{\ln 3}2\pi x e^xdx=2\pi(xe^x-e^x)\BIg|_0^{\ln 3}=2\pi(3\ln 3-2)\]

注:这里绕 \(y\) 轴旋转,也可以用切片法来求,但是左边曲线有两条,所以要分成两个区域来求。读者可以自行练习。

例2:求由曲线 \(y=\sqrt{x}, y=x\) 所围成的区域分别绕 \(x\) 轴与 \(y\) 轴旋转所得的旋转体的体积。

解:老规矩,我们先画出区域的图形。

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我们求出两曲线的交点:\(\sqrt{x}=x\),我们得到两个交点 \((0,0), (1,1)\)。因为是两个曲线围成的区域,我们需要用上曲线绕出来的体积减去下曲线绕出来的体积。所以\[V_x=\int_0^1\pi ((\sqrt{x})^2-x^2)dx=\pi (\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\Big|_0^1=\frac{\pi}{6}\]而绕 \(y\) 轴旋转所得的体积为 \[V_y=\int_0^12\pi x (\sqrt{x}-x)dx=2\pi (\frac{2x^{5/2}}{5}-\frac{x^3}{3})\Big|_0^1=\frac{2\pi}{15}\]