如何计算平面区域的面积?

这篇文章里,我们总结了一般平面区域的面积的求法。

求平面区域的面积,关键的第一步就是先将区域的图形画出来,根据区域的形状,我们可以比较容易得到积分的上、下限以及被积函数。

我们从定积分的定义就知道,曲边梯形

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的面积为\[A=\int_a^bf(x)dx.\]

那么对于一般的平面区域,它们的面积该怎么求。我们来分成几种情形来讲:

情形1:假设平面区域是由曲线 \(x=a, x=b, y=f(x), y=g(x)\) 围成,

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那么它的面积就是 \[\int_a^b(f(x)-g(x))dx\]

对于这种一般的平面图形,我们要记住的原则就是,求面积,永远是用上曲线减去下曲线积分。

情形2:如果上、下曲线不能用一个表达式表示,就要对区域进行分块,利用定积分的区域可加性来求,例如这样的区域的面积:

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它的面积就要分成两部分来求。

\[A=\int_a^c(f_1(x)-g(x))dx+\int_c^d(f_2(x)-g(x))dx\]

情形3:如果平面区域是由曲线 \(y=c, y=d, x=h_1(y), x=h_2(y)\)所围成的话,

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它的面积为 \[A=\int_c^d(h_2(y)-h_1(y))dx\]也就是说,我们用右边曲线减去左边曲线的积分来求面积。跟上一个情形一样,如果左右曲线不能用一个表达式表示,就要对区域进行分解,分别求各个部分的面积,最后求出整个图形的面积。

情形4: 如果平面图形由两个曲线围成

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如果曲线 \(C_1\) 可以表示成 \(y=f_1(x)\) 也可以表示成 \(x=h_1(y)\),而 \(C_2\) 可以表示成 \(y=f_2(x)\) 或者 \(x=h_2(y)\),那么区域的面积等于积分\[\int_a^b (f_2(x)-f_1(x))dx\]或者\[ \int_c^d(h_1(y)-h_2(y))dy\]具体选择哪个积分变量还要看哪一个积分更方便计算。至于哪一个函数减哪一个函数,我们只需要记住一点就是:上曲线减下曲线,或者右曲线减左曲线。

情形 1 和情形 2 称为 \(x\) 型域,情形 3 称为 \(y\) 型域,情形 4 即可以算 \(x\) 域也可以算 \(y\) 型域。 \(x\) 型域以 \(x\) 为积分变量,被积函数为上曲线减去下曲线; \(y\) 型域以 \(y\) 为积分变量,被积函数为右曲线减去左曲线。

我们来看几个例子。

例1:求由曲线 \(y=x^2+1, y=z, x=-1, x=2\) 所围成的平面区域的面积。

解:我们先画出区域的图形,然后就可以确定积分上、下限以及被积函数。区域的图形如下:

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从上面的图形我们可以看出,这个平面区域的面积为 \[A=\int_{-1}^2(x^2+1-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x\Big|_{-1}^2=\frac{9}{2}\]

这个例子是属于第一种情形的。

例2:求由 \(y=\frac{1}{x}, y=x, y=2\) 所围成的平面区域的面积。

解:我们先画出平面区域的图形。

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要求这个区域的面积,如果以 \(x\) 为积分变量,就需要将区域分成两个部分

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这样的话,就要分成两个积分来求。这是因为下方曲线是由两条曲线组成,它们的表达式不一样,所以要分成两个部分。但是如果我们以 \(y\) 为积分变量,那么右边曲线和左边曲线都只有一条,所以只需要求一个积分就可以了。

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注意一下,上图中,两条曲线我们都表示成 \(x\) 是 \(y\) 的函数,因为我们要以 \(y\) 为积分变量,也就是说,\(y\) 是自变量。所以由我们之前的分析,被积函数是右边曲线 \(x=y\) 减去左边曲线 \(x=\frac{1}{y}\),而区域里 \(y\) 的最大值和最小值就是积分上、下限,所以区域的面积为\[A=\int_1^2(y-\frac{1}{y})dy=\frac{y^2}{2}-\ln y\Big|_1^2=\frac{3}{2}-\ln 2\] 

从这个例子我们可以看出,有时候积分变量的选取,关系到积分的难易,所以在区域的图形画出来 以后,稍微分析一下,哪种方法比较容易计算。

我们来看最后一个例子。

例3:求由曲线 \(y=\sin x, y=\cos x, x=0, x=\frac{\pi}{2}\) 所围成的区域的面积。

解:如往常一样,我们先画出区域的图形。

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从图形我们可以看出,要求这个区域的面积,得将它分成两部分,第一部分的上曲线是 \(\cos x\),下曲线是 \(\sin x\) ,第二部分正好相反。当然我们也要求出两个曲线的交点,这个交点就是两部分的分界点。

由 \(\sin x=\cos x\), 我们得到 \(\tan x =1\),由此得到 \(x=\frac{\pi}{4}\),这个我们已经在图上画出来了。所以平面区域的面积为

\begin{align*}A&=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x)dx\\ &=(\sin x+\cos x)\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}+(-\cos x-\sin x)\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=2(\sqrt 2-1)\end{align*}