如何计算对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分可能是高等数学里最难的一部分了,这里我们总结了求对坐标的曲面积分的各种方法,并且举例说明这些方法的应用范围。

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1,计算方法
对坐标的曲面积分的计算方法主要是三种:直接计算,利用向量形式的曲面积分(两类曲面积分的关系),以及利用高斯公式来计算。

(1)直接计算
直接计算的话,就是将曲面积分化成二重积分来算,例如
\begin{align*}\iint_SR(x,y,z)dxdy=\pm\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy\end{align*}
这里 \(D_{xy}\) 就是曲面在 \(xOy\) 平面上的投影,如果是曲面的上侧,取正号,如果是曲面的下侧,则取负号。同理
\[\iint_SQ(x,y,z)dzdx=\pm\iint_{D_{zx}}Q(x,y(x,z),z)dzdx\]
\(D_{zx}\) 就是曲面在 \(xOz\) 平面上的投影,曲面右侧取正,左侧取负;
\[\iint_SP(x,y,z)dydz=\pm\iint_{D_{yz}}Q(x(y,z),y,z)dydz\]\(D_{yz}\) 就是曲面在 \(yOz\) 平面上的投影,前侧取正,后侧取负。

2,利用曲面积分的向量形式(两类曲面积分的关系)

因为 \[\iint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iint_S\vec{F}(x,y,z)\cdot \vec{n}dS\] 这里 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\), \(\vec{n}\) 是曲面的单位法向量。我们分两种情况计算。

(1)曲面由 \(z=f(x,y)\) 给出,则\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-f_x,-f_y,1)dxdy\]如果曲面是上侧,就取正,如果曲面是下侧,就取负。

这是因为如果曲面取上侧,曲面法向量的第三个分量为正,所曲面的法向量为 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y, 1)\);曲面下侧,第三个分量取负,所以 \(\vec{N}=(f_x,f_y, -1)\)。单位法向量为
\[\vec{n}=\pm\frac{1}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}(-f_x,-f_y, 1)\]
而面积元
\[dS=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy\]联合起来,就是
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(-g_x,-g_y,1)dxdy\]

(2)曲面由隐函数 \(G(x,y,z)=0\) 给出,由隐函数求导公式及上面的结论,得到
\[\iint_S\vec{F}\cdot\vec{n}dS=\pm\iint_D(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(\frac{G_x}{G_z},\frac{G_y}{G_z},1)dxdy\]

3,利用高斯公式

闭曲面上的积分首先要考虑高斯公式。分两种情况:

(1),若曲面积分是在闭曲面上进行,则直接应用高斯公式,
\[\oint_SP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\iiint_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\]这里 \(V\) 是曲面 \(S\) 所围成的立体。

(2),若曲面是开曲面,则添加辅助曲面使之成为闭曲面,

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再应用高斯公式,最后减去辅助曲面上的积分即得原积分的值,\begin{align*}\iint_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &\quad -\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\end{align*}

对于闭曲面内部有奇点的情形,也可以仿照格林公式,挖去奇点,应用高斯公式在复连通立体上,再减去内部闭曲面上的积分就得到原积分。但是这种方法在高数课程里一般涉及,我们就不做介绍了。

4,适用范围:(1)若曲面简单而且被积函数也简单,直接计算;(2)若曲面是闭曲面,首先考虑应用高斯公式;(3)若曲面是开曲面,但被积函数复杂,考虑添加辅助曲面,变成闭曲面后,利用高斯公式计算,最后再减去辅助曲面上的积分;(4)若被积函数复杂,但又不合适作用高斯公式,可以尝试向量形式的曲面积分。

5,计算方法举例

例1:计算曲面积分 \(\displaystyle \iint_Sxyzdxdy\),其中 (S) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的外侧在 \(x\ge 0, y\ge 0\) 的部分。

解:曲面可以分为上、下两部分,上半部分的表达式为 \(S_1: z=\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\),法向量朝上,积分符号为正;下半部分的表达式为 \(S_2: z=-\sqrt{1-x^2-y^2}, x,y\ge 0\),法向量朝下,积分符号为负。它们的投影区域都是 \(D=\{(x,y)| x^2+y^2\le 1, x,y\ge 0\}\)。所以曲面积分为

\begin{align*}\iint_Sxyzdxdy&=\iint_{S_1}xyzdxdy+\iint_{S_2}xyzdxdy\\ &=\iint_{D}xy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy-\iint_{D}xy(-\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy \\&=2\iint_Dxy(\sqrt{1-x^2-y^2})dxdy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta\end{align*}

令 \(u=1-r^2\),则 \(du=-2rdr, r^2=1-u\),所以

\begin{align*}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1r\cos t r\sin t\sqrt{1-r^2}rdrd\theta&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_1^0(1-u)\cos t \sin t\sqrt{u}(-\frac{1}{2}du)d\theta\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\cos t \sin t(\sqrt{u}-u^{3/2})dudt\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t \sin t\left(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}\right)\Big|_0^1dt\\ &=\frac{4}{15}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t\sin t dt=\frac{4}{15}\cdot\frac{1}{2}\sin^2t\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{2}{15}\end{align*}

例2,计算积分 \(\displaystyle\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy\),其中 \(f(x,y,z)\) 是连续函数,\(S\) 是平面 \(x-y+z=1\) 在第四卦限部分的上侧。

解:这里 \(f(x,y,z)\) 是连续函数,具体形式不知道,所以不能应用直接计算方式;又因为它只是连续函数,没有可不可导的条件,也不能应用高斯公式,所以只有利用向量形式(或者两类曲面积分的关系)的曲面积分,希望能够消去 \(f(x,y,z)\),然后再积分。

因为 \(S:z=1-x+y\),曲面取上侧,所以 \(\vec{N}=(-f_x,-f_y,1)=(1,-1,1)\),曲面在 \(xOy\) 平面的投影为 \(D={(x,y)| 0\le x\le 1, x-1\le y\le 0}\),

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曲面积分为

\begin{align*}\iint_S(f(x,y,z)+x)dydz&+(2f(x,y,z)+y)dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy=\iint_D\vec{F}\cdot \vec{N}dxdy\\ &=\iint_D(f(x,y,z)+x,2f(x,y,z)+y,f(x,y,z)+z )\cdot(1,-1,1)dxdy\\ &=\iint_D(x-y+z)dxdy=\iint_D(x-y+1-x+y)dxdy\\ &=\iint_Ddxdy=\frac{1}{2}\end{align*}

最后的结果是因为投影区域是直角三角形,两个底边长都是 \(1\),它的面积是 \(\frac{1}{2}\)。

例3:求积分\(\displaystyle\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz\),其中 \(S\) 是柱面 \(x^2+y^2=1\) 及平面 \(z=0,z=3\) 所围成的闭曲面的外侧。

解:这里\(P(x,y,z)=(y-z)x, Q(x,y,z)=0, R(x,y,z)=x-y\),曲面外侧,所以可以直接应用高斯公式

\begin{align*}\oint_S(x-y)dxdy+(y-z)xdydz&=\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV\\ &=\iiint_V\left(\frac{\partial }{\partial x}((y-z)x)+\frac{\partial }{\partial z}(x-y)\right)dV\\ &=\iiint_V(y-z)dV\end{align*}

因为这个闭曲面所围成的部分是圆柱体,所以应用柱坐标来计算三重积分比较简便,

\begin{align*}\iiint_V(y-z)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^3(r\sin \theta-z)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(r^2\sin\theta z-\frac{1}{2}rz^2\right)\Big|_0^3drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^1\left(3r^2\sin\theta-\frac{9}{2}r\right)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(r^3\sin\theta-\frac{9}{4}r^2\right)\Big|_0^1d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\left(\sin\theta-\frac{9}{4}\right)d\theta=\left(-\cos\theta-\frac{9}{4}\theta\right)\Big|_0^{2\pi}\\ &=-\frac{9}{2}\pi\end{align*}

下一个例子,我们看一下如何利用高斯公式求一个开曲面的曲面积分。我们先添加一个辅助曲面将开曲面变成闭曲面,然后利用高斯公式计算闭曲面上的积分,最后再减去辅助曲面上的积分,就得到我们所求的曲面积分。

例4:求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\),其中 \(S\) 为 \(z=x^2+y^2\) 在平面 \(z=4\) 以下的部分,上侧。

解:这是一个开曲面,我们给它加上一个盖子\(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\) ,法向量朝下,组成一个闭曲面,

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这个闭曲面的法向量是朝内的,所以

\begin{align*}\iint_S+\iint_{S_1}&=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &=\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV\end{align*}

这个积分区域的投影是圆 \(x^2+y^2\le 4\),下曲面是\(z=x^2+y^2=r^2\),上曲面是 \(z=4\),所以利用柱坐标计算,\[V=\{(r,\theta,z)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le 2, r^2\le z\le 4\}\]

我们有

\begin{align*}\iiint_V(-x^2-y^2+4)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4(4-r^2)rdzdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{r^2}^4r(4-r^2)z\Big|{r^2}^4drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2\int{r^2}^4r(16-8r^2+r^4)drd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^2(8r^2-2r^4+\frac{1}{6}r^6)\Big|_0^2d\theta=\frac{32}{5}\theta\Big|_0^{2\pi}\\ &=\frac{64}{5}\pi\end{align*}

现在计算辅助曲面 \(S_1\) 的上积分,因为 \(S_1: z=4, x^2+y^2\le 4\),所以 \(dz=0\)。又因为它的法向量朝下,所以积分号为负,

\begin{align*}\iint_{S_1}&\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iint_{x^2+y^2\le 4}16dxdy=-16\cdot 4\pi\end{align*}

这里,\(1\) 的积分就是平面区域的面积,而圆 \(x^2+y^2\le 4\) 的面积为 \(4\pi\)。

所以

\begin{align*}\iint_S\left(-\frac{1}{3}x^3+e^{z^2}\right)dydz&+\left(-\frac{1}{3}y^3+x\tan z\right)dzdx+4zdxdy\\ &=-\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dxdydz\\ &\quad-\iint_{S_1}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\ &=-\frac{64}{5}\pi+64\pi=\frac{256}{5}\pi\end{align*}

6,习题与答案

最后给出一些习题,供同学们练习。

1,计算曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sy^3dydz+z^2dzdx+xdxdy\),其中 \(S\) 是曲面 \(z=4-x^2-y^2\) 位于平面 \(z=2x+1\) 上方的部分,方向朝下。

2,设 \(S\) 是曲面 \(z=\sqrt{x^2+y^2}, x^2+y^2\le 4\) 的下侧,\(f(x,y)\) 是连续函数,计算 \(\displaystyle\iint_S(xf(x,y)+2xy-y)dydz+(yf(x,y)+2y+x)dzdx+(zf(x,y)+z)dxdy\)

3,设空间立体 \(V\) 由平面 \(2x+y+2z=2\) 与三个坐标面围成,\(S\) 是它的外表面,计算曲面积分 \[\oint_S(x^2+1)dydz-2ydzdx+3zdxdy\]

4,求曲面积分 \(\displaystyle\iint_S (y\cos(y^2)+z-1)dydz+\frac{z}{x+1}dzdx+xye^{z^2}dxdy\),其中 \(S\) 是其中一个顶点在原点,整个位于第一卦限的无底单位正方体,法向量朝向外。

5,求曲面积分 \(\displaystyle\iint_Sz^3\sin e^ydydz+z^3e^{x^2\sin z}dzdx+(y^2+z)dxdy\),其中 \(S\) 是下半球面 \(x^2+y^2+z^2=4\),方向朝上。

答案:1 \(\quad 0\)

2 \(\quad 0\)

3 \(\quad\frac{1}{2}\)


4
\(\quad\frac{e}{4}\)

5 \(\quad \frac{4}{3}\pi^3\)