如何用很少的几个习题复习好线性代数?

们现在来看看,如何用最少的几个习题将这门课的重点都复习到。

线性代数的知识点很分散,复习很不容易抓住要点。我们现在来看看,如何用最少的几个习题将这门课的重点都复习到。

我们可以这样选题:

  • 解一个非齐次的线性方程组;
  • 找一个带一、两个参数的线性方程组,判断它什么时候无解、有唯一解及有无穷个解;
  • 将一个方阵对角化;
  • 求一个向量组的极大无关组,并将其它向量用极大无关组表示;
  • 求一个四阶或者五阶的行列式;
  • 求一个方阵的逆矩阵;
  • 判断一个向量组是否线性无关;
  • 用正交变换将一个实对称矩阵对角化;
  • 求一个 \(n\) 阶行列式

如果这几个题你都可以自如地应付,那么线性代数这门课程你基本上不用担心了。因为这些题基本上涵盖了线性代数这门课程的主要内容。我们可以来分析一下。

第一个,解线性方程组,它基本上用到了线性方程组解的结构。从解线性方程组,你可以知道齐次线性方程组的基础解系怎么求,以及非齐次方程组与齐次方程组的解之间的关系。

第二个,判断线性方程组是否有解,是唯一解还是无穷多个解。这里涉及的内容有线性方程组解的理论,矩阵的秩,秩与解的关系。

第三个,矩阵对角化。矩阵对角化的步骤是:求特征值,求特征向量,将特征向量排成一个矩阵。这里就复习了特征值、特征向量以及相似矩阵的内容。

第四个,极大无关组及用极大无关组表示其它向量。这里复习了向量的线性表示,线性相关及线性无关的概念。重点是怎么找极大无关组,它也是矩阵的列空间的基。

前面这四个,考试的时候大多是以大题的形式出现,所以要优先复习而且一定掌握。

第五个,求行列式,一般都是用降阶法,它用到了行列式的性质和行列式展开。

第六个,求方阵的逆矩阵(初等变换法)。矩阵内容里面很大一部分内容都是为求逆矩阵作准备。为了得到用实现用初等变换求逆矩阵,引入了初等矩阵,然后将初等矩阵与初等变换联系起来,目的就是为了用初等变换求逆矩阵。

第七个,判断一个向量组是否线性相关。相关的内容是线性相关与线性无关的概念,以及线性相关性与齐次方程的解之间的关系。还有一个就是矩阵的秩。只要矩阵的秩小于向量的个数,就是线性相关的。

第八个,实对称矩阵的对角化。用正交变换化实对称矩阵为对角阵,不光是复习特征值、特征向量,还复习了向量组的正交性以及施密特正交化方法。

最后一个, \(n\) 阶行列式的计算,基本上是行列的按行或列展开加上递推式,偶而也可以直接利用初等变换求出。

你可以看一下,线性代数的内容差不多也就这些了。