如何理解极限的严格定义?

初学高等数学(或者微积分)的同学,都会觉得极限的严格定义非常难以理解。我们来试着解释一下,如何才能比较好的理解它。

我们先来回顾一下极限的严格定义:对任何的 \(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当 \(0<|x-a|<\delta\) 的时候, 不等式 \(|f(x)-A|<\epsilon\) 成立。我们就说 \(A\) 是函数 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋近于 \(a\) 时的极限。

第一次看到这样的定义的时候,往往连句子都读不通顺,更别说里面的数学含义了。我们更习惯的是极限的直观定义:当 \(x\) 越来越接近于 \(a\) 时,\(f(x)\) 越来越接近数 \(A\),我们就说当 \(x\) 趋近于 \(a\) 的时候 ,函数 \(f(x)\) 的极限是 \(A\).

举个例子,当 \(x\) 越来越接近于 \(2\) 时, \(x^2\) 越来越接近于 \(4\),我们就说 \(4\) 是 \(x^2\) 当 \(x\) 趋近于 \(2\) 时的极限。

这样的句子我们比较能够接受,也容易理解。问题是,这样的表述在数学上是不严谨的。“越来越接近”是多接近?这在数学上是不能够被接受的。

稍微数学(严格)一点的说法是:当 \(x\) 充分接近 \(a\) 时,函数 \(f(x)\) 可以无限接近于 \(A\),……。当然这样的句子我们还是能够理解,知道意思跟前面的直观定义也差不多。但还是不够。

事实上,极限的严格定义只是将我们的直观定义用数学语言描述了一遍,我们仍然可以是直观的定义去理解。

我们说 \(x\) 充分接近于 \(a\),那么就是说 \(x\) 与 \(a\) 的距离足够近,而描述距离的数学方式,就是两个数之差的绝对值;足够近,就是两个数的距离足够小,而足够小就是它的值应该小于某个很小的数,这个数就是我们要找的 \(\delta\)。

那么如何用数学语言或者数学式子描写“无限接近”?我们刚才讲了“接近” 就是距离,那么无限接近是什么?就是距离可以无限小。那么如何描写无限小?我们知道距离是正数,如果距离无限小,就是距离无限接近于 \(0\)。距离无限接近于 \(0\),而又因为 \(0\) 小于任何正数,所以距离无限小就是它可以小于任何正数。所以说对于任何正数 \(\epsilon\), \(|f(x)-A|<\epsilon\),那么 \(f(x)\) 就是无限接近于 \(A\) 了。

所以说,极限的严格定义,只是将我们以前的直观定义用严格的数学语言重新表述了一遍而已,我们大可以从前的直观定义来理解极限,而不用纠结于这个严格的定义。因为即使不理解这个定义,也不影响你后续内容的学习。

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