如何应用根值判别法求幂级数的收敛半径?

我们给出求幂级数的收敛半径的另一种方法,就是应用根值判别法来求收敛半径。

在一般的教材里,幂级数的收敛半径通常是用比值判别法来求的。事实上,我们也可以应用根值判别法来求幂级数的收敛半径。由根值判别法,

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}x^{n}\right|}=|x|
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \]

由根值判别法的结论,当\( \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}=|x| \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} <1\),也就是\(|x|<\frac{1}{
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} }\) 时,级数收敛,所以我们得到了收敛半径为 \[
R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} . \]

对于缺项级数和一般泰勒级数,我们也可以用根值判别法来求它们的收敛半径。我们可以看几个例子。

例1,求幂级数\[\sum_{n=1}^{\infty}n5^nx^n\]的收敛半径。

解:由上述推导,我们知道,幂级数的收敛半径为

\[ R=\frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}} = \frac{1}{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|n5^n\right|}}= \frac{1}{5}. \]

例2,求幂级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1}\]的收敛半径。

解:这个级数是缺项级数,我们不能直接应用我们上面的结论。但是我们仍然可以应用根值判别法来求收敛半径。首先,我们求极限

\[ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|u_n\right|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|
\frac{(-1)^nx^{2n}}{n+1} \right|}= |x|^2.\] 由根值判别法的结论,当 \(|x|^2<1\) 时,级数收敛, \(|x|^2>1\) 时, 级数发散。也就是说,\(|x|<1\) 时,级数收敛, \(|x|>1\) 时, 级数发散。 所以级数的收敛半径为 \(1\)。