如何利用第二个重要极限来计算一些未定式极限

我们利用第二个重要极限来求 \(1^{\infty}\) 型的未定式极限, 通常的做法是,将幂指函数 \(f(x)^{g(x)}\)写成 \([(1+\alpha)^{1/\alpha}]^{\alpha g(x)}\) 的形式,方括号里面部分就是 \(e\),我们只需要处理方括号外面的指数部分就可以了。

第二个重要极限为\[\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e\]这个极限之所以重要,是因为它是推导指数函数导数公式的基础。我们也可以利用它来计算一些未定式极限,特别是 \(1^{\infty}\) 型的未定式极限。

我们利用这个极限来求 \(1^{\infty}\) 型的未定式极限, 通常的做法是,将幂指函数 \(f(x)^{g(x)}\)写成 \([(1+\alpha)^{1/\alpha}]^{\alpha g(x)}\) 的形式,方括号里面部分就是 \(e\),我们只需要处理方括号外面的指数部分就可以了。我们用几个例子来说明如何使用这个重要极限。

例1:计算极限

\[\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^2+5}{x^2-1}\right)^{x^2}\]

解:我们对函数进行变形,

\begin{align*}\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^2+5}{x^2-1}\right)^{x^2}&=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1+5}{x^2-1}\right)^{x^2}\\ &=\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{6}{x^2-1}\right)^{x^2}\\&=\lim_{x\to\infty}\left[\left( 1+\frac{6}{x^2-1} \right)^{\frac{x^2-1}{6}}\right]^{\frac{6x^2}{x^2-1}} \\&=e^6\end{align*}因为方括号里面的极限为 \(e\),指数部分的极限为 \(6\)。所以原极限为 \(e^6\)。

例2:计算极限

\[\lim_{x\to 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}}\]

解:我们对函数变形,

\begin{align*} \lim_{x\to 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}} &= \lim_{x\to 0}\left(\frac{1+\sin x+\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{\sin x}} \\ &=\lim_{x\to 0}\left[\left(1+\frac{\tan x-\sin x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1+\sin x}{\tan x-\sin x}}\right]^{\frac{\tan x-\sin x}{(1+\sin x)\sin x}}\\ &=e^0=1\end{align*}这里是因为方括号里面部分极限是 \(e\),方括号上方的指数的极限为 \(0\),所以原极限为 \(1\)。

这两个例子都说明了如何利用第二个重要极限来求其它 \(1^{\infty}\) 型的未定式极限。我们只需要将里面括号部分变成第二个重要极限的样子,而外面指数再乘一个里层指数的倒数。里面部分的极限永远是 \(e\),而指数部分,就可以应用极限的运算法则或者其它方法来求得。