利用高阶微分方程求解一阶线性微分方程组

我们知道,每一个高阶微分方程都可以对应一个一阶微分方程组,所以高阶的微分方程可以用一阶微分方程组来求解。反之,一阶的微分方程组也可以用高阶的微分方程来求解。我们来看一下如何利用高阶微分方程来求解一阶的线性微分方程组。

我们以两个函数的方程组来说明如何使用这个方法。设有一阶方程组

\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{cases}

将第一个方程求导,得到 \(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{df}{dt}\),将方程组代入到右边,得到 \[\frac{d^2x}{dt^2}=h(t,x,y)\]

然后将此式与第一个方程联立,消去 \(y\),得到关于 \(x\) 的二阶方程,求出此方程,再代入到方程组里的第二个方程,就可以求出 \(y\)。

对于三个和三个以上的未知函数的方程,可以类似处理。

我们来看例题。

例1,求方程组的通解,

\begin{cases}\frac{dx}{dt}+y=\cos t\\ \frac{dy}{dt}+x=\sin t\end{cases}

解:将第一个方程对 \(t\) 求导,得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dy}{dt}=-\sin t\]

将 \(\frac{dy}{dt}=-x+\sin t\) 代入上式,得到

\[\frac{d^2x}{dt^2}-x=-2\sin t\]

利用二阶常系数非齐次方程的解,不难求出它的通解为 \[x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\]

将它代入第二个方程,得到

\[\frac{dy}{dt}+C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t=\sin t\]

也就是

\[\frac{dy}{dt}=-C_1e^{x}-C_2e^{-x}\]

两边积分,就得到

\[y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\]

所以方程的通解为

\begin{cases}x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sin t\\ y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\end{cases}