你所不知道的积分法(三):反向乘积求导公式与反向商的求导公式

有些函数之和的积分,分开来看,是没办法算或者很复杂,但合起来,仔细观察,有些会是两个函数的乘积或者两个函数之商的导数,这时候,运用反向乘积或者反向商的求导公式,就能比较容易地求出积分。

1,反向乘积的导数:我们知道,两个函数的乘积的导数为

\[(f(x)\cdot g(x))’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\]

所以

\[\int f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)dx=f(x)\cdot g(x)+C\]

例1,求积分 \(\displaystyle\int\left(\frac{1}{\ln x}+\ln(\ln x)\right)dx\)

解:分开来算,这两个积分都算不出来。但仔细观察,\((\ln(\ln x))’=\frac{1}{x\ln x}\),与第一项差了一个因子 \(\frac{1}{x}\),所以将 \(\ln(\ln x)\) 乘以 \(x\),再求导,正好了被积分函数,所以

\[\int\left(\frac{1}{\ln x}+\ln(\ln x)\right)dx=\int[x\ln(\ln x)]’dx=x\ln(\ln x)+C\]

2,反向商的求导公式:商的求导公式为

\[\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\]

所以

\[\int\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}+C\]

如果一个被积分函数的分母为一个函数的平方,我们可以通过商的求导公式凑出 \(f(x)\),然后利用反向商的求导公式求出积分。

例2,求积分 \(\displaystyle\int\frac{\sin^2 x}{(x\cos x-\sin x)^2}dx\)。

解:因为分母是一个函数的平方,看起来还有点复杂,我们来“凑”出一个商的求导公式。因为分母为 \((x\cos x-\sin x)^2\),所以令 \(g(x)=x\cos x-\sin x\), \( g'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x\),

\begin{align*}f'(x)g(x)-f(x)g'(x)&=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)\\ &=f'(x)\cdot(x\cos x-\sin x)-f(x)\cdot(-x\sin x)\\ &=f'(x)\cdot x\cdot\cos x-f'(x)\sin x+f(x)\cdot x\cdot\sin x\\ &=\sin^2x \end{align*}

因为右边只有 \(\sin^2x\),一个直观的猜想是 \(-f'(x)\sin x=\sin^2x\),也就是\(f(x)=\cos x\),而另外两项为 \(0\)。将 \(f(x)=\cos x\) 代入上式,

\[f'(x)\cdot x\cdot\cos x+f(x)\cdot x\cdot\sin x=-\sin x\cdot x\cdot\cos x+\cos x\cdot x\cdot\sin x=0\]

所以,原积分为

\[\int\frac{\sin^2 x}{(x\cos x-\sin x)^2}dx=\int\left(\frac{\cos x}{x\cos x-\sin x}\right)’dx=\frac{\cos x}{x\cos x-\sin x}+C\]

最后,给出几个习题供有兴趣的同学们练习。

求积分

\begin{align*}(1)&\int(x\sec^2x+\tan x)dx\\ (2)&\int x^x(\ln x+1)dx\\ (3)&\int e^{\sin x}(x^2\cos x+2x)dx\\ (4)&\int\frac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}dx\\ (5)&\int\frac{\sin x-x\cos x-\cos }{\sin^2x}\end{align*}