你所不知道或不熟悉的积分法(一):欧拉代换

我们讲述教材上一般不讲的积分方法,这是第一篇,欧拉代换。

我们一般的高等数学或者微积分课程里,甚至数学系的数学分析课程里,限于课时,有很多积分方法是没有讲过的,有些讲过也只是匆匆带过。事实上,积分的方法多种多样,虽然基本的方法也就是分部积分与换元积分法,但是由这两种方法,加上积分与导数的关系,能够演化出多种多样的积分方法来。

这些方法,有些方法在教材里没有出现,只在一些习题集里或者一些专门的著作里出现过;有些是教材里简单提过,没有深入讲解的方法;有些是现在通用教材里不讲,但是在一些年代久远的教材里出现过的。

现在我将我所知道的这些方法列举出来,一来可以可以拓宽我们的视野和知识面,二来可以加深我们对已有知识的理解。

我们来看一下有哪些方法我们不知道或者不了解的。限于篇幅,我们将这些内容作成一个系列,分别讲述。本文我们讲述欧拉代换。

欧拉代换:如果被积函数的形式为 \(R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\),就是 \(x\) 与 \(\sqrt{ax^2+bx+c}\) 的有理函数,我们可以用欧拉代换:

  • \(a>0\), 作代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t – \sqrt{ax}\),两边平方后,可以得到 \(bx+c=t^2-2\sqrt{a}tx\),于是 \[x=\frac{t^2-c}{b\+2\sqrt{a}t},\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{a}t^2+bt+c\sqrt{a}}{2\sqrt{a}t+b}, dx=\frac{2\sqrt{a}t^2+2bt+2\sqrt{a}c}{(b+2\sqrt{a}t)^2}dt;\]
  • \(c>0\),作代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\),两边平方再除以 \(x\),就得到 \(ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t\),从而可得 \[x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2},\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{\sqrt{c}t^2-bt+\sqrt{c}a}{a-t^2}, dx=\frac{2\sqrt{c}t^2-2bt+2\sqrt{c}a}{(a-t^2)^2}dt\]
  • 若 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-p)(x-q)}\),则作代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-p)\),两边平方,约去 \(x-p\),我们得到 \(a(x-q)=t^2(x-p)\),从而 可得 \[x=\frac{pt^2-aq}{t^2-a},\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{a(p-q)t}{t^2-a},dx=\frac{2a(q-p)t}{(t^2-a)^2}dt\]

上面的这三种变换,其实也可以用代换 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t + \sqrt{ax}, \sqrt{ax^2+bx+c}=xt-\sqrt{c}\) 和 \(\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-q)\),方法 是一样的,只是最后得到的结果在符号上有差别而已。

这种形式的积分,教材上一般都采用三角代换的方式来求。需要我们先对根式里的项配方,再利用标准的三角代换来求。

当然,这种积分也可以用双曲代换的方式来求。任何用三角代换可以解决的积分,都可以用双曲代换求得,具体采取哪种方法,根据自己的熟练程度选用。这三种方法,都是应用变量代换将根式的有理函数化与一般的有理函数,而有理函数总是可以求积分的。

我们来看两个欧拉代换的例子。

例1:求不定积分 \[\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}\]

解:这可以用第一种方法,也可以用第二种方法。我们先用第一种方法来计算。

I. 我们作代换 \(\sqrt{x^2+x+1}=t-x\),那么 \[x=\frac{t^2-1}{1+2t},\sqrt{x^2+x+1}=\frac{t^2+t+1}{2t+1}, dx=\frac{2t^2+2t+2}{(2t+1)^2}dt;\]代入到积分里面,我们得到 \[\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}=\int\frac{2t^2+2t+2}{t(2t+1)^2}dt\]

利用有理函数的部分分式法,我们有

\begin{align*}\int\frac{2t^2+2t+2}{t(2t+1)^2}dt&=\int\left(\frac{2}{t}-\frac{3}{2t+1}-\frac{3}{(2t+1)^2}\right)dt\\ &=2\ln|t|-\frac{3}{2}\ln|2t+1|+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2t+1}+C\end{align*}

代回原来变量,\(t=x+\sqrt{x^2+x+1}\),我们得到原积分为

\begin{align*}&\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}} \\ &\quad =2\ln|x+\sqrt{x^2+x+1}|-\frac{3}{2}\ln|2x+2\sqrt{x^2+x+1}+1|\\ &\qquad+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2x+2\sqrt{x^2+x+1}+1}+C\end{align*}

II,现 在我们用第二种方法来计算这个积分。我们令 \(\sqrt{x^2+x+1}=xt+1\),从而 \[x=\frac{2t-1}{1-t^2},\sqrt{x^2+x+1}=\frac{t^2-t+1}{1-t^2}, dx=\frac{2t^2-2t+2}{(1-t^2)^2}dt\]

代入到积分里面去,我们有\[\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}=\int\frac{2t^2-2t+2}{t(1-t)(1-t^2)}dt\]

利用有理函数的部分分式法,我们得到

\begin{align*}\int\frac{2t^2-2t+2}{t(1-t)(1-t^2)}dt&=\int\left(\frac{2}{t}+\frac{2}{1+t}-\frac{3}{(1+t)^2}+\frac{2}{1-t}\right)dt\\&=2\ln|t|+2\n|1+t|-2\ln|1-t|+\frac{3}{1+t}+C\\&=2\ln|t|+2\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{3}{1+t}+C\end{align*}

代回原来变量, \(t=\frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x}\),我们有 \begin{align*}\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}&=2\ln|t|+2\ln\left|\frac{1+t}{1-t}\right|+\frac{3}{1+t}+C\\&=2\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+x+1}-1}{x}\right|+2\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^2+x+1}-1}{x-\sqrt{x^2+x+1}+1}\right|\\&\quad +\frac{3x}{x+\sqrt{x^2+x+1}-1}+C\end{align*}

我们看到了用两种不同的积分方式,得到了不一样的结果,这是很正常的事。

我们看一下用第三种方法 计算 的积分。

例2:求积分 \[\int\frac{xdx}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}\]

解:我们知道, \(7x-10-x^2=(x-2)(5-x)\),所以应用第三种变换, \(\sqrt{2+x-x^2}=t(x-2)\),从而\[x=\frac{2t^2+5}{t^2+1},\sqrt{7x-10-x^2}=\frac{3t}{t^2+1},dx=\frac{-6t}{(t^2+1)^2}dt\]代入到积分里面去,我们得到

\begin{align*}\int\frac{xdx}{\sqrt{(7x-10-x^2)^3}}&= -\frac{6}{27}\int\frac{2t^2+5}{t^2}dt\\ &=-\frac{2}{9}\int(2+\frac{5}{t^2})dt=-\frac{4}{9}t+\frac{10}{9t}+C\\&=-\frac{4}{9}\cdot \frac{\sqrt{7x-10-x^2}}{x-2}+\frac{10(x-2)}{9\sqrt{7x-10-x^2}}+C\end{align*}

最后一个等式我们用等式 \(t=\frac{\sqrt{7x-10-x^2}}{x-2}\) 将 \(t\) 代回了原来的变量 \(x\)。