你所不知道或不熟悉的积分法(二):对称代换

有些有理函数的积分,使用对称代换比直接使用部分分式法求要简单方便得多。

我们在之前的文章:有理函数的积分,并不只有部分分式法,举了一个例子

\[\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx\]

这个例子里,我们做代换 \[u=x+\frac{1}{x}\]来求积分,比直接使用部分分式法求要简单方便得多。这种类型的代换,称之为“对称代换”。这种代换在求一些特殊的有理函数或者类似的函数的积分的时候,会比较方便。

所谓的对称代换,是指做代换

\[u=x^{a}\pm\frac{1}{x^a}\] 同时,函数又些类似于 \[x^{a-1}\mp\frac{1}{x^{a+1}}\] 的项。这时候,进行对称代换会比较容易。我们来看一些例子。

例1:求积分 \[\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx\]

解:我们对分子分母同时除以 \(x^4\),积分变形为

\begin{align*}\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{x^4+\frac{1}{x^4}}dx\\&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{x^4+\frac{1}{x^4}+2-2}dx\\&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2}dx\end{align*}

现在做代换 \(u=x^2+\frac{1}{x^2}\),则 \(du=2\left(x-\frac{1}{x^3}\right)dx\),所以原积分变为

\begin{align*}\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx&=\int\frac{x-\frac{1}{x^3}}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2}dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u^2-2}\\ &=\int\frac{du}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}dx\end{align*}

利用有理函数的部分分式法,我们可以得到部分分式 \(\frac{1}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}=\frac{1}{2\sqrt2}\left(\frac{1}{u-\sqrt2}-\frac{1}{u+\sqrt2}\right)\)

\[\frac{1}{2}\int\frac{du}{(u-\sqrt2)(u+\sqrt2)}dx=\frac{1}{4\sqrt2}\int\left(\frac{1}{u-\sqrt2}-\frac{1}{u+\sqrt2}\right)dx=\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{u-\sqrt2}{u+\sqrt2}\right|+C\]

代回原来的变量,就得到了\[\int\frac{x^5-x}{x^8+1}dx=\frac{1}{4\sqrt2}\ln\left|\frac{x^2+\frac{1}{x^2}-\sqrt2}{x^2+\frac{1}{x^2}+\sqrt2}\right|+C\]

我们再来看一个不是有理函数的积分。

例2:求积分 \[\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx\]

解:我们在根式里面提出因子 \(x^2\) 到根式外面来,然后将分子分母同除以 \(x^2\),积分变形为

\begin{align*}\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx&=\int\frac{x^2-1}{x(x^2+1)\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx\\&=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}dx\\ &=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}dx\end{align*}

做代换 \(u=x+\frac{1}{x}\),则上式变为

\[\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx=\int\frac{1-\frac{1}{x^2}}{\left(x+\frac{1}{x}\right)\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}dx=\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-2}}\]

做三角代换 \(u=\sqrt{2}\sec t\),则 \[\int\frac{du}{u\sqrt{u^2-2}}=\int\frac{\sqrt{2}\sec t\tan t}{\sqrt{2}\sec t\tan t}dt=\int\frac{1}{\sqrt{2}}dt=\frac{t}{\sqrt{2}}+C\]

代回原来变量,因为 \(u=\sqrt{2}\sec t\), 我们有 \(\cos t=\frac{\sqrt{2}}{u}\),从而 \(t=\arccos \frac{\sqrt{2}}{u}\),所以

\begin{align*}\int\frac{x^2-1}{(x^2+1)\sqrt{x^4+1}}dx&=\frac{t}{\sqrt{2}}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}}{u}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}}{x+\frac{1}{x}}+C\\&=\frac{1}{\sqrt2}\arccos \frac{\sqrt{2}x}{x^2+1}+C\end{align*}

以下几个习题留给读者练习。

1,求积分 \[\int\frac{x^2-1}{x^4+x^2+1}dx\]

2,求积分 \[\int\frac{x^4+1}{x^2\sqrt{x^4-1}}dx\]

3,求积分 \[\int\frac{x^2+1}{x^4+3x^3+3x^2-x+1}dx\]

4,求积分 \[\int\frac{x^2}{x^4+1}dx\]

最后一个可能会有点麻烦,如果你有什么想法,可以在留言区留言。