什么是相关变化率?怎么求?

相关变化率,就是两个相互依存的两个变量,其中一个关于参数变化(例如时间),那么另一个自然也关于这个参数在变化。如果我们知道其中一个变量的变化率,那么就可以求出另一个变量的变化率。这就是相关变化率。

什么是相关变化率? 举例来说吧。我们知道圆的面积 A=\pi r^2 ,如果这个半径是根据时间变化的,那么很显然,面积也根据时间变化。变化率其实就是导数,如果我们知道半径的变化率(就是半径关于时间的导数) \frac{dr}{dt},那么在某个时刻,面积对于时间的变化率(导数 \frac{dA}{dt}) 也就知道了。

从数学的角度来看这个问题,其实就是复合函数的求导法则。半径可以看成是时间的函数r=r(t),那么面积A(t)=\pi r^2(t),由复合函数的求导法则\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}。假如 r 每秒增加 1 cm, 那么当半径为 2 的时候的面积的变化率为 2\pi \cdot 2\cdot 1=4\pi cm

这种类型的问题,另一个难点是不知道怎么把实际问题转化成数学问题。这就是如何建立数学模型的问题。它的实际困难就是,很多同学并不知道其实变化率就相当于导数。但是从导数的定义就知道,导数就是变化率 \frac{\Delta y}{\Delta x} 的极限。当时间间隔足够短的时候,变化率就可以看成是导数。

我们来看两个例题,来说明如何求相关变化率。

例1:设 x^2+y^2=25以及当x=4 的时候 \frac{dx}{dt}=5, 求当 x=4 的时候 \frac{dy}{dt}的值。

解:两边关于 t 求导,我们得到

    \[2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \]

x=4 的时候 , y=\pm 3

    \[8\cdot 5\pm6 \frac{dy}{dt}=0 \]

所以

    \[  \frac{dy}{dt}=\mp \frac{20}{3} .\]

例2:两辆汽车从同一点出发,其中一辆以 60 公里每小时向南行驶,另一辆车以每小时 25 公里向西行驶。问在两小时后,两辆车的距离的变化率是多少?

解:我们可以用图来说明

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我们设AB 的长度为 x, AC 的长度为 y,BC 的长度为 z,那么 z^2=x^2+y^2,两小时后,x=120, y=50z=130, 同时,由题设,\frac{dx}{dt}=60, \frac{dy}{dt}=25,我们要求的是 \frac{dz}{dt},我们对方程 z^2=x^2+y^2 两边同时对 t 求导,我们得到

    \[2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\]

代入我们刚才得到的数值,我们有

    \[2\cdot 130  \frac{dz}{dt}=2\cdot 120\cdot 60+2\cdot 50\cdot 25  \]

所以 \frac{dz}{dt}=\frac{16900}{260}=65公里/小时