什么是相关变化率?怎么求?

相关变化率,就是两个相互依存的两个变量,其中一个关于参数变化(例如时间),那么另一个自然也关于这个参数在变化。如果我们知道其中一个变量的变化率,那么就可以求出另一个变量的变化率。这就是相关变化率。

什么是相关变化率? 举例来说吧。我们知道圆的面积 \(A=\pi r^2\) ,如果这个半径是根据时间变化的,那么很显然,面积也根据时间变化。变化率其实就是导数,如果我们知道半径的变化率(就是半径关于时间的导数) \(\frac{dr}{dt}\),那么在某个时刻,面积对于时间的变化率(导数 \(\frac{dA}{dt}\)) 也就知道了。

从数学的角度来看这个问题,其实就是复合函数的求导法则。半径可以看成是时间的函数\(r=r(t)\),那么面积\(A(t)=\pi r^2(t)\),由复合函数的求导法则\(\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r \frac{dr}{dt}\)。假如 \(r\) 每秒增加 \(1\) cm, 那么当半径为 \(2\) 的时候的面积的变化率为 \(2\pi \cdot 2\cdot 1=4\pi cm\)。

这种类型的问题,另一个难点是不知道怎么把实际问题转化成数学问题。这就是如何建立数学模型的问题。它的实际困难就是,很多同学并不知道其实变化率就相当于导数。但是从导数的定义就知道,导数就是变化率 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 的极限。当时间间隔足够短的时候,变化率就可以看成是导数。

我们来看两个例题,来说明如何求相关变化率。

例1:设 \(x^2+y^2=25\)以及当\(x=4\) 的时候 \(\frac{dx}{dt}=5\), 求当 \(x=4\) 的时候 \(\frac{dy}{dt}\)的值。

解:两边关于 \(t\) 求导,我们得到

\[2x \frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0 \]

当 \(x=4\) 的时候 , \(y=\pm 3\)

\[8\cdot 5\pm6 \frac{dy}{dt}=0 \]

所以

\[ \frac{dy}{dt}=\mp \frac{20}{3} .\]

例2:两辆汽车从同一点出发,其中一辆以 \(60\) 公里每小时向南行驶,另一辆车以每小时 \(25\) 公里向西行驶。问在两小时后,两辆车的距离的变化率是多少?

解:我们可以用图来说明

\begin{tikzpicture}

\draw [->] (4,0)–(2,0);

\draw [->] (4,0)–(4,-4);

\draw (2,0)–(4,-4);

\node [right] at (4,0) {$A$};

\node [below] at (4,-4) {$B$};

\node [left] at (2,0) {$C$};

\node [right] at (4,-2) {$x$};

\node [above] at (3,0) {$y$};

\node [left ] at (2.8,-2) {$z$};

\end{tikzpicture}

我们设AB 的长度为 \(x\), AC 的长度为 \(y\),BC 的长度为 \(z\),那么 \(z^2=x^2+y^2\),两小时后,\(x=120, y=50\),\(z=130\), 同时,由题设,\(\frac{dx}{dt}=60, \frac{dy}{dt}=25\),我们要求的是 \(\frac{dz}{dt}\),我们对方程 \(z^2=x^2+y^2\) 两边同时对 \(t\) 求导,我们得到

\[2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}\]

代入我们刚才得到的数值,我们有

\[2\cdot 130 \frac{dz}{dt}=2\cdot 120\cdot 60+2\cdot 50\cdot 25 \]

所以 \(\frac{dz}{dt}=\frac{16900}{260}=65\)公里/小时