不定积分技巧总结

求不定积分的各种方法总结。总结不同被积函数适用的积分方法。

适合分部积分的类型

  • 幂函数与三角函数 \(\sin x, \cos x\) 的乘积, 令幂函数为 \(u\), 三角函数为 \(v’\) ;
  • 幂函数与指数函数的乘积, 令幂函数为 \(u\), 指数函数为 \(v’\);
  • 幂函数与反三角函数的乘积, 令反三角函数为 \(u\), 幂函数为 \(v’\);
  • 幂函数与对数函数的乘积,令对数函数为 \(u\), 幂函数为 \(v’\);
  • 三角函数与指数函数的乘积, 采用回复积分法,一般积分两次后,原积分会再次出现. 这时候只要解一个代数方程就可了. 对这种形式的积分, 无论取哪个函数为 \(u\) 都可以, 另外一个函数为 \(v’\);
  • 如果积分类型为 \(\int u^n v dx\), 例如 \(\displaystyle\int x^n \sin xdx, \int x^n \cos xdx, \int x^n e^{ax}dx, \int (1+x^2)^ndx, \int\frac{1}{(1+x^2)^n}\) , 使用递推法求积分.

适合换元法的类型:

  • 首先寻求凑微分. 凑微分的情况太多了, 这里不能一一尽述. 如不能凑微分, 可按以下方式换元
  • 如果被积函数含有项 \(\sqrt{a^2-x^2}\), 令 \(x=a\sin t\); \(\sqrt{a^2+x^2}\), 令 \(x=a\tan t\); \(\sqrt{x^2-a^2}\), 令 \(x=a\sec t\); 这三种为标准的三角代换.
  • 如果被积函数含有项 \(\sqrt{px^2+qx+r}\), 则先配方, 化成形式 \( \sqrt{a^2-(x+b)^2}, \sqrt{a^2+(x+b)^2}\) 或者 \(\sqrt{(x+b)^2-a^2}\), 然后使用相应的代换 \(x+b=a\sin t, x+b=a\tan t\) 或者 \(x+b=a\sec t\)来化简;
  • 被积函数含有项 \(\sqrt[n]{ax+b}\), 则令 \(u=\sqrt[n]{ax+b}\); 如含有项 \(\displaystyle\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\), 则令 \(\displaystyle u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\). 这两种情况都是把无理函数化成有理函数,然后用有理函数的积分法求积分;

有理函数的积分:所谓有理函数, 就是型如 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) 的函数, 其中 \(P(x), Q(x)\) 都是多项式.

  • 如果是假分式, 先将它化成多项式与真分式之和. 所谓假分式, 就是分子的阶高于或者等于分母的阶;
  • 对于真分式, 利用有理分式的分解法, 将真分式分解成四种简单分式之和: \(\displaystyle\frac{A}{x-a},\frac{A}{(x-a)^k}, \frac{Ax+B}{x^2+px+q}, \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}\)
    • 如果 \(Q(x)\) 含有单因式 \(x-a\), 即 \(a\) 是 \(Q(x)\) 的单根, 则分解式里含有 \(\displaystyle\frac{A}{x-a}\);
    • 如果 \(Q(x)\) 含有重因式 \((x-a)^k\), 即 \(a\) 是 \(Q(x)\) 的 \(k\) 重根, 则分解式里含有 \(k\) 项: \(\displaystyle\frac{A_1}{x-a}, \frac{A_2}{(x-a)^2}, \cdots, \frac{A_k}{(x-a)^k}\);
    • 如果 \(Q(x)\) 含有因式 \((x^2+px+q\), 且 \(x^2+px+q\) 无实根, 则分解式里含有项 \(\displaystyle\frac{Ax+B}{x^2+px+q}\);
    • 如果 \(Q(x)\) 含有重因式 \((x^2+px+q)^k\), 则分解式里含有 \(k\) 项: \(\displaystyle\frac{A_1x+b_1}{x^2+px+q}, \frac{A_2x+B_2}{(x^2+px+q)^2}, \cdots, \frac{A_kx+B_k}{(x^2+px+q)^k}\);

b 和 d 要用到递推式求极限, a 可以直接用积分公式求得, c 可以化成两部分的和 \(\displaystyle\int\frac{d(x^2+px+q)}{x^2+px+q}dx +\int\frac{C}{x^2+px+q}dx\), 第一项已经凑好了微分, 第二项将分母配方, 然后利用标准的积分方法. [/list]

三角函数的积分

  • 类型 \(\int\sin^mx\cos^nxdx\) ,
    • 如果 \(n=2k+1\) 是奇数, 则 \(\int\sin^mx\cos^nxdx=\int\sin^mx(\cos^2x)^k\cos xdx= \int\sin^mx(1-\sin^2x)^k d(\sin x)dx\)
    • 如果 \(m=2k+1\) 是奇数, 则 \(\int\sin^mx\cos^nxdx=\int(\sin^2x)^k\cos^nx\sin xdx= -\int(1-\cos^2x)^k\cos^nxd(\cos x)dx\)
    • 如果 \(m,n\) 都是偶数, 则使用倍角恒等式 \(\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}, \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}\)
  • 类型 \(\int\tan^mx\sec^nxdx\)
    • 如果 \(n=2k, k\ge2\) 是偶数, 则 \(\int\tan^mx\sec^nxdx= \int\tan^mx(\sec^2x)^{k-1}\sec^2xdx=\int\tan^mx(1+\tan^2x)^{k-1}d(\tan x)dx\)
    • 如果 \(m=2k+1\) 是奇数,则 \(\int\tan^mx\sec^nxdx=\int(\tan^2x)^k\sec^{n-1}x \tan x\sec xdx=\int(\sec^2x-1)^k\sec^nxd(\sec x)\)
  • 三角有理函数的积分 \(\int R(\sin x,\cos x)dx\)
    • 若 \(R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\), 则作变换 \(\cos x =u\);
    • 若 \(R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\), 则作变换 \(\sin x =u\);
    • 若 \(R(-\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)\), 则作变换 \(\tan x =u\);任何一个三角有理函数可以分解成上述三种三角有理函数之和;任何一个三角有理函数可以通过换元 \(u=\tan \frac{x}{2}\) 化成有理函数;