质量和质心

我们运用二重积分的思想,来求密度非均匀的平面片的质量与质心。

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1,质量:我们假设平面片的密度是非均匀的, 密度函数为 \(f(x,y)\),我们求它的质量。

假设平面片所占的区域为 \(D\),因为是非均匀的,所以不能应用面积乘以密度的方法来求得质量。我们先求它的近似值。用 \(x=\)常数, \(y=\)常数将平面片划分成很小的一块块小平面片,在每一个小平面片上,密度变化不会太大,可以认为它的均匀的。在小平面片上任取一点\((x_i^*,y_i^*)\), 以这一点的密度作为整下小平面片的密度,再乘以小平面片的面积,就是这块小平面片的近似质量,即 \[m_i\approx f(x_i^*,y_i^*)dA_i\]将所有这些小平面片的质量加起来,

\[m=\sum_i^nm_i\approx \sum_i^nf(x_i^*,y_i^*)dA_i\]

再取极限,就是二重积分的定义了,也就是说

\[m=\iint_Df(x,y)dA=\iint_Df(x,y)dxdy\]

若立体的密度为 \(f(x,y,z)\) ,则立体的质量为

\[m=\iiint_Vf(x,y,z)dV\]

2,质心:同样的方法,可以求得平面片的质心。\(x=\)常数, \(y=\)常数将平面片划分成很小的一块块小平面片,每一个小平面片可以看成是一个质点,它的质量可以近似用任一点的密度乘以它的面积,然后利用离散型 \(n\) 个质点的质心定义 \((\bar{x},\bar{y})\)

\[\bar{x}=\frac{\sum_i^nx_im_i}{\sum_i^n m_i}, \bar{y}=\frac{\sum_i^ny_im_i}{\sum_i^n m_i}\]

求得出平面片的质心 \((\bar{x},\bar{y})\) 为(先求和再求极限)

\[\bar{x}=\frac{\iint_Dxf(x,y)dA}{\iint_Df(x,y)dA},\quad \bar{y}=\frac{\iint_Dyf(x,y)dA}{\iint_Df(x,y)dA}\]

其中 \(M_y=\iint_Dxf(x,y)dA, M_x=\iint_Dyf(x,y)dA\) 分别称为对 \(y\) 轴和对 \(x\) 轴的静矩。

若是立体,则它的质心 \((\bar{x},\bar{y},\bar{z})\) 为

\[\bar{x}=\frac{\iiint_Vxf(x,y,z)dV}{\iint_Vf(x,y,z)dV},\quad \bar{y}=\frac{\iiint_Vyf(x,y,z)dV}{\iiint_Vf(x,y,z)dV},\quad \bar{z}=\frac{\iiint_Vzf(x,y,z)dV}{\iiint_Vf(x,y,z)dV}\]

例1:求平面片的质心,其中平面片是顶点为 \((0,0), (0,1), (1,0)\) 的三角形,密度为 \(f(x,y)=xy\)。

解:平面区域可以表示成 \(D=\{(x,y)| 0\le x\le 1, 0\le y\le 1-x\}\),其质量为

\begin{align*}m&=\iint_DxydA=\int_0^1\int_0^{1-x}xydydx=\frac{1}{2}xy^2\Big|_0^{1-x}dx\\ &=\int_0^1x\frac{1}{2}(1-x)^2dx=\int_0^1\frac{1}{2}(x-2x^2+x^3)dx\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right)\Big|_0^1=\frac{1}{24}\end{align*}

我们再计算另外两个积分(静矩)。对 \(y\) 轴的静矩为

\begin{align*}M_y&=\iint_Dxf(x,y)dA=\int_0^1\int_0^{1-x}x\cdot xydydx\\ &=\frac{1}{2}\int_0^1x^2y^2\Big|_0^{1-x}dx=\int_0^1\frac{1}{2}(x^2-2x^3+x^4)dx\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}x^3-frac{1}{2}x^4+\frac{1}{5}x^5\right)\Big|_0^1\\ &=\frac{1}{60}\end{align*}

对 \(x\) 轴的静矩的计算,我们交换积分次序,将区域改写成 \(D=\{(x,y)|0\le x\le 1-y, 0\le y\le 1\}\),则

\begin{align*}M_x==\iint_Dxf(x,y)dA=\int_0^1\int_0^{1-y}y\cdot xydxdy=\frac{1}{60}\end{align*} 这是因为只要再交换一下积分变量,我们发现跟上式完全一样,所以积分值也一样。

所以 \[\bar{x}=\frac{M_y}{m}=\frac{\frac{1}{60}}{\frac{1}{24}}=\frac{2}{5}, \quad \bar{y}=\frac{2}{5}\]所以平面片的质心为 \((\frac{2}{5}, \frac{2}{5})\)。