直角坐标下二重积分的计算

二重积分的计算,基本的方法就是将二重积分化成二次定积分来计算。具体的步骤是:先画出积分区域的图形,然后根据图形,给出二次定积分的上下限,再利用求定积分的方法来求出二重积分。

我们先推导出如何将二重积分化成二次积分。

笔记下载:直角坐标下计算二重积分

1,化二重积分为二次积分:我们设曲顶柱体的底部区域为 \(D=\{(x,y)|a\le x\le b, \phi(x)\le y\le \psi(x)\}\),固定 \(x\),我们得到的是一系列的平行截面,这组平行截面的顶部为曲线 \(z=f(x, y)\),底部为线段 \(\phi(x)\le y\le \psi(x)\)。每一个截面的面积为 \(A(x)=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy\),再根据平行截面为已知的立体的体积(平行截面为已知的立体的体积)的计算方法,我们知道,曲顶柱体的体积为

\[V=\int_{a}^bA(x)dx=\int_a^b\left(\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dy\right)dx\]

这是两次定积分,我们称这样的积分为累次积分(这里是两次定积分,所以是二次积分)。我们通常省略里面的括号,直接写成

\[V=\int_a^b\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dydx\]

2,二重积分的计算。我们根据积分区域的不同,得到不同的积分方法(积分次序)。

(1)如果积分区域为 \(D=\{(x,y)|a\le x\le b, \phi(x)\le y\le \psi(x)\}\),图形如下:

则积分为 \[\iint_Df(x,y)dA=\int_a^b\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,y)dydx\]

(2)若积分区域为 \(D=\{(x,y)|h_1(y)\le x\le h_2{y}, c\le y\le d\}\),也就是说,积分区域如图:

那么,二重积分为\[\iint_Df(x,y)dA=\int_c^d\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)dxdy\]

(3)若积分区域为两个区域之和(它们的内部不相交),\(D=D_1+D_2\),

\[\iint_Df(x,y)dA=\iint_{D_1}f(x,y)dA+\iint_{D_2}f(x,y)dA\]

也就是说,如果在不同的地方,积分上下曲线不同,则需要对区域进行划分。