球坐标下三重积分的计算

我们给出球坐标的定义,以及如何利用球坐标计算三重积分。如果积分区域是球体、锥体或者球体的一部分,使用球坐标计算三重积分是方便的。

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1,球坐标:空间中的一点 \(P\) 可以用球坐标 \((r,\theta,\phi)\) 来表示它的位置。其中 \(r\) 表示 \(P\) 点到原点的距离, \(\phi\) 表示向量 \(\vec{OP}\) 与 \(z\) 轴单位向量 \(\vec{k}\) 的夹角,\(\theta\) 为 \(OP\) 在 \(xOy\) 平面上的投影与 \(x\) 轴正向之间的夹角。

从上面的定义,我们可以得到各个变量的取值范围: \(r\ge 0, 0\le\phi\le \pi, 0\le\theta\le 2\pi\) 。球坐标系与直角坐标系的关系为

\[\begin{cases}x=r\sin\phi\cos\theta\\ y=r\sin\phi\sin\theta\\ z=r\cos\phi\end{cases}, r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

2,球坐标下的三重积分:我们用 \(r=\)常数,\(r=\)常数,\(r=\)常数将积分区域划分成很小的一块块,在每一个小块上计算它们的体积(这里我们不做详细推导了),然后每一个小块上,函数可以用小块上任一一点处的函数值来近似。每一个小块的体积近似于 \[\Delta V_i=r_i^{*2}\sin\phi_i^* drd\phi d\theta\]所以 \[dV=r^2\sin\phi drd\phi d\theta\]

所以,三重积分可以表示为

\[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iiint_Vf(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi)r^2\sin\phi drd\phi d\theta\]

3,球坐标下的三重积分的计算:主要是如何将三重积分化成三次积分来计算,而关键是如何确定积分的上、下限。

我们从原点引一条射线穿过积分区域。射线进入区域的曲面为 \(r\) 的下限,离开区域的曲面为 \(r\) 的积分上限;射线与 \(z\) 轴的最小夹角为 \(\phi\) 的下限,与\(z\) 轴的最大夹角为 \(\phi\) 的上限;射线投影到 \(xOy\) 平面后,与 \(x\) 轴的正向夹角最小者为 \(\theta\) 的下限,最大者为 \(\theta\) 的上限。若区域可以表示成 \[V=\{(r,\phi,\theta)|r_1(\phi,\theta)\le r\le r_2(\phi,\theta), \phi_1\le \phi\le \phi_2, \theta_1\le \theta\le \theta_2\}\]则三重积分为

\[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\phi_1}^{\phi_2}\int_{r_1(\phi.\theta)}^{r_2(\phi,\theta)}f(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi)r^2\sin\phi drd\phi d\theta\]

我们来看例题。

例1:计算三重积分 \(\displaystyle\iiint_V(x^2+y^2)dV\),其中 \(V\) 是球体 \(x^2+y^2+z^2\le a^2\)。

解:球面的方程在球坐标下为 \(r=a\),又因为球体包含原点,所以我们得到区域的表达式为

\[V=\{(r,\phi,\theta)| 0\le\le 2\pi, 0\le\phi\le \pi, 0\le r\le a\}\]所以三重积分为

\begin{align*}\iiint_V(x^2+y^2)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^a(r^2\sin^2\phi)r^2\sin\phi dr d\phi d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin^3\phi\cdot \frac{1}{5}r^5\Big|_0^ad\phi d\theta\\ &=\frac{a^5}{5}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin^3\phi d\phi d\theta=\frac{a^5}{5}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin^2\phi\cdot\sin\phi d\phi d\theta\\ &=\frac{a^5}{5}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}(1-\cos^2\phi) d(-\cos\phi) d\theta \\ &=\frac{a^5}{5}\int_0^{2\pi}\left(\frac{1}{3}\cos^3\theta-\cos\theta\right)\Big|_0^{\pi}d\theta\\&=\frac{a^5}{5}\int_0^{2\pi}\frac{4}{3}d\theta=\frac{4a^5}{15}\cdot \theta\Big|_0^{2\pi}=\frac{4a^2}{15}\cdot 2\pi\\ &=\frac{8\pi a^5}{15}\end{align*}

例2:计算三重积分 \(\iiint_V(x^2+y^2+z^2)dV\),其中 \(V\) 位于 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 的下方,\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 上方的部分。

解:曲面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 是一个球面,\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) 是一个锥面,它是由曲线 \(z=x, z\ge 0\) 绕 \(z\) 轴旋转而成。 \(z=x\) 与 \(z\) 轴的夹角为 \(\frac{\pi}{4}\),而球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 与 \(z\) 轴的正向有交点,所以我们可以得到 \(0\le \phi\frac{\pi}{4}\);两个曲面的交线为

\[\begin{cases}x^2+y^2+z^2=a^2\\ z=\sqrt{x^2+y^2}\end{cases}\quad \Rightarrow\quad x^2+y^2=\frac{a^2}{2}\] 是一个圆,包含原点,所以 \(0\le\theta\le 2\pi\)。

因为原点在区域的边界上,所以 \(r\) 的下限为 \(0\);从原点引一条射线穿过区域,可以知道射线离开区域的曲面为球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\),它在球坐标下的表达式为 \(r=a\),所以 \(r\) 的上、下限为 \(0\le r\le a\)。从而积分区域可以表示成

\[D=\{(r,\phi,\theta)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le \phi \le \frac{\pi}{4}, 0\le r \le a\}\]

所以三重积分为

\begin{align*}\iiint_V(x^2+y^2+z^2)dV&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^ar^2\cdot r^2\sin\phi drd\phi d\theta\\&=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin\phi\frac{r^5}{5}\Big|_0^ad\phi d\theta=\frac{a^5}{5}\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin\phi d\phi d\theta\\ &=\frac{a^5}{5}\int_0^{2\pi}(-\cos\phi)\Big|_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta=\frac{a^5}{5}(\frac{1-\sqrt2}{2})\int_0^{2\pi}d\theta\\ &=\frac{2\pi a^5}{5}(1-\frac{\sqrt2}{2})\end{align*}