柱坐标下三重积分的计算

当积分区域是圆柱体或者圆柱体的一部分的时候,在柱坐标下计算三重积分会使得计算变得更简便。这节我们说明如何利用柱坐标计算三重积分。

笔记下载:柱坐标下计算三重积分

1,柱坐标: 我们可以用柱坐标 \((\rho, \theta,z)\) 表示空间中的任意一点,其中\(\rho,\theta\) 是这一点投影到 \(xOy\) 平面的极坐标,\(z\) 为这一点在 \(z\) 轴的直角坐标。可以这么说,柱坐标就是极坐标加上一个直角坐标。

由柱坐标的定义,我们知道柱坐标与直角坐标之间的关系为:

\[\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z\end{cases},\qquad \begin{cases}\rho=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\begin{cases}\arctan\frac{y}{x},& y>0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& y<0\end{cases}\\ z=z\end{cases}\]

2,柱坐标下的三重积分表达式:由极坐标的关系 \(dA=rdrd\theta\) 我们知道在柱坐标下, \[dV=dAdz=\rho d\rho d\theta dz\]

所以三重积分在柱坐标下的表达式为 \[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\iiint_Vf(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta, z)\rho d\rho d\theta dz\]

3,适用范围:积分区域为圆柱面或者圆柱面的一部分;积分区域在平面上的投影为圆。这几种情形应用极坐标计算会比较简便。我们来看一些例题。

例1:计算三重积分 \(\displaystyle\iiint_V(x^2+y^2)dV\),其中 \(V\) 是由 \(x^2+y^2=1\),\( x^2+y^2=4\), \(z=0\), \(z=1\), \(x=0\),\(x=y\) 所围成的在第一卦限的部分。

解:这个立体可以看成是两个圆柱面之间的部分,被四个平面切出来的部分。因为是圆柱体的一部分,所以最好用柱坐标来计算。

我们来确定积分的上、下限。\(z=0, z=1\) 就确定了 \(z\) 的上、下限 \(0\le z\le 1\)。\(xY2+y^2=1, x^2+y^2=4\) 分别是半径为 \(1\) 和半径为 \(2\) 的圆柱面,它们的柱坐标对应 \(1\le \rho \le 2\)。平面 \(x=0\) 就是 \(yOz\) 平面,投影到 \(xOy\) 平面就是 \(y\) 轴,对应极坐标 \(\theta=\frac{\pi}{2}\),平面 \(x=y\) 投影到 \(xOy\) 平面就是直线 \(y=x\),对应极坐标 \(\theta=\frac{pi}{4}\),所以积分区域可以写成

\[V=\{(\rho,\theta,z)|\frac{\pi}{4}\le\theta\le \frac{\pi}{2}, 1\le \rho\le 2, 0\le z\le 1\}\]

又从柱坐标与直角坐标之间的关系,我们有 \(x^2+y^2=\rho^2, dV=dz\rho d\rho d\theta\),从而三重积分为

\begin{align*}\iiint_V(x^2+y^2)dV&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^2\int_0^1\rho^2\rho dz d\rho d\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^2\rho^3z\Big|_0^1d\rho d\theta\\&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^2\rho^3d\rho=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\rho^4}{4}\Big|_1^2d\theta =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\left(4-\frac{1}{4}\right)d\theta\\&=\frac{15}{4}\theta\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{15}{16}\pi\end{align*}

例2:计算立体的体积,其中立体是位于 \(x^2+y^2+z^2=6\) 的下方而位于 \(z=x^2+y^2\) 上方的部分。

解:我们先看两个曲面的交线

\[\begin{cases}x^2+y^2+z^2=6\\ z=x^2+y^2\end{cases}\quad\Rightarrow\quad z^2=6-z,\quad z^2+z-6=0\]可以解出 \(z=2, z=-3\)(舍去)。代入到第二个方程,我们得到交线为 \(x^2+y^2=2, z=2\)。这个曲线在 \(xOy\) 平面的投影为 \(x^2+y^2=2\),这是一个圆,圆心在原点,半径为 \(\sqrt2\)。所以采用柱坐标来计算体积会比较方便一点。

在柱坐标下,方程 \(x^2+y^2+z^2=6\) 可化成 \(z=\sqrt{6-\rho^2}\)(不考虑下半球面,因为在曲面 \(z=x^2+y^2\) 上方, \(z\ge 0\))。方程 \(z=x^2+y^2\) 可化成 \(z=\rho^2\)。所以积分区域为 \[V=\{(\rho,\theta,z)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le \rho\le \sqrt2, \rho^2\le z\le \sqrt{6-\rho^2}\}\]

所以立体的体积为

\begin{align*}V&=\iiint_V1=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}\int_{\rho^2}^{\sqrt{6-\rho^2}}\rho dz d\rho d\theta\cdot dV \\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}\rho z\Big|_{\rho^2}^{\sqrt{6-\rho^2}}d\rho d\theta=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}(\rho\sqrt{6-\rho^2}-\rho^3)d\rho d\theta\\ &= \int_0^{2\pi}(-\frac{1}{3}(6-\rho^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4})\Big|_0^{\sqrt2}d\theta=\frac{1}{3}(6\sqrt6-11)\theta\Big|_0^{2\pi}\\&=\frac{2\pi}{3}(6\sqrt6-11)\end{align*}