极坐标下二重积分的计算

对于有些积分区域来说,利用极坐标来计算比较方便,特别是区域的形状为圆或者圆的一部分的时候。

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1,极坐标:平面上的一点 \(P(x,y)\) 也可以用极坐标 \(P(r,\theta)\) 来表示,其中 \(r\) 为点 \(P\) 到原点的距离, \(\theta\) 为线段 \(OP\) 与 \(x\) 轴正向的夹角。

根据定义, \(r\ge 0, 0\le\theta\le 2\pi\),或者 \(-\pi\theta\le \pi\)。 同时,根据极坐标的定义,我们可以得到它们与直角坐标之间的关系:

\[\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin \theta\end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\arctan\frac{y}{x},& y>0\\ \theta=\arctan\frac{y}{x}+\pi,& y<0\end{cases}\]

利用这些等式,我们可以方便地将曲线由直角坐标形式的方程化成极坐标形式的方程,反之亦然。

例1:将曲线 \(x^2+y^2=1\) 化成极坐标形式。

解:因为 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\),所以 \(x^2+y^2=1\) 可以写成 \(r^2=1\),也就是 \(r=1\)。

例2:将线段 \(x=2, 0\le y\le 2\) 化成极坐标形式。

解:因为 \(x=r\cos \theta\),也就是

\[r\cos \theta=2\quad \Rightarrow\quad r=\frac{2}{\cos\theta}\]

因为线段上的点与原点的连线,与 \(x\) 轴的夹角最小为 \(0\)(点 \(2,0\)),最大为 \(\theta=\frac{\pi}{4}\) (点 \((2,2)\)),所以极坐标下曲线的方程为

\[r=\frac{2}{\cos\theta}, 0\le \theta\le\frac{\pi}{4}\]

2,极坐标下二重积分的计算公式:我们将区域 \(D\) 用 \(r=\)常数 和 \(\theta=\) 常数分割成一个个小的曲边四边形,我们来推导 \(dA\) 的表达式。

我们在小区域 \(\Delta D_i\) 内选取一点 \((r^*, \theta^*)\) ,使得外边的曲边为 \(r^*+\frac{1}{2}dr\),里层的曲边为 \(r^*-\frac{1}{2}dr\),那么 \(\Delta D_i\) 的面积为 (外层扇形的面积减去里层扇形的面积)

\[\Delta A_i=\frac{1}{2}(r^*+\frac{1}{2}dr)^2d\theta-\frac{1}{2}(r^*-\frac{1}{2}dr)^2d\theta=r^*drd\theta\]

所以 \[dA=rdrd\theta\]

所以,二重积分在极坐标下的表达式为\[\iint_Df(x,y)dA=\iint_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]

3,积分上、下限的确定。对于极坐标下的二重积分来说,确定积分上、下限是比较困难的一件事。首先,积分的顺序一般是先积分 \(r\),再积分 \(\theta\)。确定 \(r\) 的上、下限基本的方法是:从原点引一条射线,穿过区域,进入区域的曲线为下限,离开区域的曲线为上限;确定 \(\theta\) 的上、下限的方法是:将此射线在区域内摆动,最小的角度为下限,最大的角度为上限。

(1)若区域不包含原点, \(D=\{(r,\theta)|\theta_1\le \theta\le \theta_2, r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)\),则二重积分可化成二次积分

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]

(2)若原点在区域的边界上,则 \(D=\{(r,\theta)|\theta_1\le \theta\le \theta_2, 0\le r\le r(\theta)\),二重积分可化为二次积分

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]

(3)若原点在区域内部,则 \(D=\{(r,\theta)|0\le \theta\le 2\pi, 0\le r\le r(\theta)\),二重积分可化为二次积分

\[\iint_Df(x,y)dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta\]

我们来看一下利用极坐标求二重积分的例子。

例1:求积分 \(\displaystyle\iint_D\sin\theta dA\),其中 \(D\) 是在圆 \(r=2\) 的外部,在心形线 \(r=2(1+\cos\theta\) 的内部,位于第一象限的部分。

解:我们先画出区域的图形(心形线的图形,教材后面有。如果不知道怎么画,就用描点法,求出特殊角度的函数值)

我们可以计算出两条曲线的交点:\(2=2(1+\cos\theta)\),所以 \(\theta=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\),因为是在第一象限,所以交点为 \(\theta=\frac{\pi}{2}, r=2\),正好是在 \(y\) 轴上。所以区域的表达式为 \[D=\{(r,\theta)|0\le\theta\le\frac{\pi}{2}, 2\le r\le 2(1+\cos\theta)\}\]

所以二重积分为

\begin{align*}\iint_D\sin\theta dA&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_2^{2(1+\cos\theta)}\sin\theta rdrd\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cdot\frac{r^2}{2}\Big|_{2}^{2(1+\cos\theta)} d\theta\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cdot\frac{1}{2}(4(1+\cos\theta)^2-4)d\theta\\&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(2\cos\theta+\cos^2\theta)\sin\theta d\theta\\ &=2(\cos^2\theta+\frac{1}{3}\cos^3\theta)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{8}{3}\end{align*}

上面这个例子是曲线直接用极坐标给出的。如果曲线用直角坐标给出,则需要先将曲线转换成极坐标表示。

例2:计算积分 \(\iint_D2ydA\),其中 \(D\) 是位于曲线 \((x-1)^2+y^2=1\) 的下方,曲线 \(y=x\) 的上方,第一象限的部分。

解:我们还是先画出区域的图形。

从而二重积分可以化为极坐标下的二次积分

\begin{align*}\iint_D2ydA&=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\cos\theta}2r\sin\theta rdrd\theta=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cdot \frac{2}{3}r^3\Big|_0^{2\cos\theta}d\theta\\ &=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{16}{3}\cos^3\theta\sin\theta d\theta=-\frac{4}{3}\cos^4\theta\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{4}{3}\cdot \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^4\\&=\frac{1}{3}\end{align*}

注意:视频里面有笔误,最后的结果有误。

例3:计算积分 \(\iint_D\sin(x^2+y^2)dA\),其中 \(D\) 是圆 \(x^2+y^2=9\) 的内部。

解:圆 \(x^2+y^2=9\) 在极坐标下的表示式就是 \(r=3\),所以积分区域在极坐标下的表达式很简单:

\[D=\{(r,\theta)|0\le\theta\le 2\pi, 0\le r\le 3\}\]所以二重积分可化为二次积分

\begin{align*}\iint_D\sin(x^2+y^2)dA&=\int_0^{2\pi}\int_0^3\sin(r^2)rdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}-\frac{1}{2}\cos(r^2)\Big|_0^3d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}(-\frac{1}{2}\cos 9+\frac{1}{2})d\theta\\&=2\pi(-\frac{1}{2}\cos 9+\frac{1}{2})\\&= \pi(1-\cos9)\end{align*}

我们看到,圆心在原点的圆,在极坐标下的表达式相当简单。当积分区域为圆或者圆的一部分(圆心在原点),圆环或者圆环的一部分的时候,利用极坐标来计算二重积分就很简单,因为积分的上、下限全部是常数。