曲面的面积

我们可以用二重积分来计算曲面片的面积。具体的作法是,先将曲面划分成很小的一块块,在每一个小块上,用曲面的切平面片来近似曲面片的面积,然后求和求极限,就是二重积分的定义,然后可以利用二重积分来求面积。

笔记下载:曲面的面积

我们先用 \(x=\)常数,\(y=\)常数 代入到曲面的方程 \(z=f(x,y)\) 里面去,那么 \(z=f(x_i,y)\) 和 \(z=f(x,y_j)\) 就是曲面上分别平行于 \(y=0\) 的平面的一族曲线和平行于 \(x=0\) 平面的一族曲线,这两族曲线将曲面划分成一个个小曲面片。

在每一个小曲面片上,任取一点 \((x_i^*, y_i^*, f(x_i^*, y_i^*))\),这一点有它的切平面。 我们将沿曲面片作一个母线平行于 \(z\) 轴的柱面,这个柱面与切平面相交于一个平行四边形 \(\Delta \Pi_i\),与 \(xOy\) 平面相交于一个长方形 \(Delta A_i\)。我们现在来求这个平行四边形 \(\Delta \Pi_i\) 的面积。

我们设 \(Delta A_i\) 的两边为 \(\Delta x,\Delta y\),我们把 \(\Delta \Pi_i\) 的一个顶点与 \(Delta A_i\) 的顶点放在一起。我们用向量来计算这个小切平面片的面积。

如果我们记切平面片上的相邻两条边的向量为 \(\vec{a}, \vec{b}\),则由向量的加法,我们知道

\[\vec{a}=\Delta x_i\vec{i}+f_x\Delta x\vec{k}, \quad \vec{b}=\Delta y\vec{j}+f_y\Delta y_i\vec{k}\]

我们知道,平行四边形的面积,可以用相邻两条边的向量的叉积的模来计算,即

\[\Delta \Pi_i=|\vec{a}\times \vec{b}|\]

因为

\begin{align*}\vec{a}\times\vec{b}&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \Delta x&0& f_x\Delta x\\ 0&\Dleta y& f_y\Delta y\end{vmatrix}\\ &=-f_x\Delta x\Delta y\vec{i}-f_y\Delta x\Delta y\vec{j}+\Delta x\Delta y\vec{k}\\ &=(-f_x,-f_y,1)\Delta x\Delta y\\ &=(-f_x,-f_y,1)\Delta A_i\end{align*}

所以 \(|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dA_i=\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dxdy\)

从而小曲面片的面积近似为 \[\Delta S_i\approx\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dA_i \]

而曲面的面积近似为 \[S=\sum_i^nS_i\approx \sum_i^n \sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dA_i\]

再取极限,我们就得到了曲面的面积为

\[S=\iint_D\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dA\]其中 \(D\) 为曲面在 \(xOy\) 平面上的投影。

下面我们来看两个例题。

例1:求曲面 \(z=x^2-y^2\) 位于 \(x^2+y^2=a^2\) 里面部分的面积。

解:我们知道 \(x^2+y^2=a^2\) 是圆柱面,所以曲面在 \(xOy\) 平面上的投影为 \(D:x^2+y^2\le a^2\),\(f(x,y)=x^2-y^2\)

\[f_x=2x, f_y=-2y\] 由曲面面积的计算公式,我们有

\begin{align*}S&=\iint_D\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dA=\iint_{x^2+y^2\le a^2}\sqrt{4x^2+4y^2+1}dA\end{align*}

因为积分区域是圆,利用极坐标计算比较方便。

\begin{align*}S&=\iint_{x^2+y^2\le a^2}\sqrt{4x^2+4y^2+1}dA=\int_0^{2\pi}\int_0^a\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{1}{12}(1+4r^2)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^a=\frac{\pi}{6}((1+4a^2)^{\frac{3}{2}}-1)\end{align*}

例2:求曲面 \(z=x^2+2y\) 位于顶点为 \((0,0),(1,0), (1,1)\) 的三角形的上方部分的面积。

解:积分区域已经给出了,是这个三角形的内部。这个三角形可以看成是三条直线 \(y=0, x=1\) 以及 \(y=x\) 所围成。所以积分区域为 \[D=\{(x,y)|0\le x\le 1, 0\le y\le x\}\] 由曲面的面积公式,我们有

\begin{align*}S&=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dA=\int_0^1\int_0^x\sqrt{1+4x^2+4}dA\\ &=\int_0^1\sqrt{5+4x^2}y\Big|_0^xdx=\int_0^1x\sqrt{5+4x^2}dx\\ &=\frac{1}{12}(5+4x^2)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^1=\frac{1}{12}(27-5^{\frac{3}{2}})\end{align*}