# 曲面的面积

$\vec{a}=\Delta x_i\vec{i}+f_x\Delta x\vec{k}, \quad \vec{b}=\Delta y\vec{j}+f_y\Delta y_i\vec{k}$

$\Delta \Pi_i=|\vec{a}\times \vec{b}|$

\begin{align*}\vec{a}\times\vec{b}&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ \Delta x&0& f_x\Delta x\\ 0&\Delta y& f_y\Delta y\end{vmatrix}\\ &=-f_x\Delta x\Delta y\vec{i}-f_y\Delta x\Delta y\vec{j}+\Delta x\Delta y\vec{k}\\ &=(-f_x,-f_y,1)\Delta x\Delta y\\ &=(-f_x,-f_y,1)\Delta A_i\end{align*}

$S=\iint_D\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dA$其中 $$D$$ 为曲面在 $$xOy$$ 平面上的投影。

$f_x=2x, f_y=-2y$ 由曲面面积的计算公式，我们有

\begin{align*}S&=\iint_D\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}dA=\iint_{x^2+y^2\le a^2}\sqrt{4x^2+4y^2+1}dA\end{align*}

\begin{align*}S&=\iint_{x^2+y^2\le a^2}\sqrt{4x^2+4y^2+1}dA=\int_0^{2\pi}\int_0^a\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{1}{12}(1+4r^2)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^a=\frac{\pi}{6}((1+4a^2)^{\frac{3}{2}}-1)\end{align*}

\begin{align*}S&=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dA=\int_0^1\int_0^x\sqrt{1+4x^2+4}dA\\ &=\int_0^1\sqrt{5+4x^2}y\Big|_0^xdx=\int_0^1x\sqrt{5+4x^2}dx\\ &=\frac{1}{12}(5+4x^2)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^1=\frac{1}{12}(27-5^{\frac{3}{2}})\end{align*}