交换积分次序

有时候,题目给出的二重积分或者二次积分无法计算或者计算太复杂,这时候,我们可能需要交换积分次序。

交换积分次序的方法,还是先根据题目给出的积分上下限,画出积分区域,然后根据积分区域,换一个积分次序。我们来看例题。

笔记下载:交换积分次序

例1:计算二次积分 \[\int_0^1\int_{4x}^4e^{-y^2}dydx\]

解: 我们看到,如果先积分 \(y\),则无法积分, 因为我们不知道 \(e^{-y^2}\) 的原函数是谁。所以考虑交换积分次序。我们先画出积分区域的图形。

根据积分上下限,我们知道积分区域可以写成 \(D=\{(x,y)|0\le x\le 1, 4x\le y\le 4\}\),所以上曲线为 \(y=4\),下曲线为 \(y=4x\),所以图形为

根据我们所得的图形,我们可以将区域的表达式写成 \(D=\{(x,y)|0\le x\le\frac{1}{4}y\}, 0\le y\le 4\),所以积分可以写成

\[\int_0^1\int_{4x}^4e^{-y^2}dydx=\int_0^4\int_{0}^{\frac{y}{4}}e^{-y^2}dxdy=\int_0^4\frac{1}{4}ye^{-y^2}dy=-\frac{1}{8}e^{-y^2}\Big|_0^4=\frac{1}{8}(1-e^{-16})\]

例2:计算积分 \[\int_0^2\int_{\frac{y}{2}}^1\cos(x^2)dxdy\]

解:与前面的例题一样,先积分 \(x\) 的话,我们不知道 \(\cos x^2\) 的原函数是谁。所以考虑交换积分次序。我们根据积分上下限,得到积分的区域为 \(D=\{(x,y)|\frac{y}{2}\le x\le 1, 0\le y\le 2 \}\),画出积分的区域如图:

交换积分次序,我们先将区域写成 \(D=\{(x,y)|0\le x\le 1, 0\le y\le 2x\}\),所以积分变成

\[\int_0^2\int_{\frac{y}{2}}^1\cos(x^2)dxdy=\int_0^1\int_{0}^{2x}\cos(x^2)dydx=\int_0^12x\cos(x^2)dx=\sin(x^2)\Big|_0^1=\sin 1\]