二重积分的定义与性质

我们从曲顶柱体的体积来导出二重积分的定义。

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1,二重积分的概念:假设一曲顶柱体,底部为 \(xOy\) 平面区域 \(D\),顶部为曲面 \(z=f(x,y), (x,y)\in D\)。我们如何求它的体积?

我们用 \(x=\)常数, \(y=\)常数 将区域 \(D\) 分割成一块块很小的区域 \(D_1, D_2, \cdots, D_n\),在每一个这样的小区域上做一个小的曲顶柱体,我们在这个曲顶柱体的顶上找一点 \(f(\xi_i,\eta_i)\),以此点的值作为长方体的高,以曲顶柱体的底作为长方体的底。

那么第 \(i\) 个曲顶柱体的体积,就可以用我们刚才作出来长方体的体积来近似

\[\Delta V_i\approx f(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=f(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i\]其中 \(\Delta A_i\) 为区域 \(D_i\) 的面积。因为我们对区域是用平行于坐标轴的直线分割的,所以 \(\Delta A_i\) 可以表示成 \(\Delta A_i=\Delta x_i\Delta y_i\)。所以曲顶柱体体积的近似值为

\[V=\sum_{i=1}^n\Delta V_i\approx \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i\]

当这些两个方向的平行线越来越密,\(\Delta x\to 0, \Delta y\to\),从而 \(\Delta A_i\to0\) 时,这个近似值的极限就是曲顶柱体的体积的真实值。也就是

\[V=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i\]

如同一元函数的定积分一样,这里是一个极限和一个和式,这两个符号我们合成一个符号,就是积分号。因为变量是二维的,我们记成二重积分

\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta A_i=\iint_Df(x,y)dA\]或者

\[\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\Delta y_i=\iint_Df(x,y)dxdy\]

从重积分的定义, 我们可以得到重积分的以下一些性质:

2,重积分的性质:

  • 常数可以提到积分号外面,即 \[\iint_DCf(x,y)dA=C\iint_Df(x,y)dA\]
  • 若区域 \(D\) 可以分解成两部分之和,\(D=D_1+D_2\),则 \[\iint_Df(x,y)dA=\iint_{D_{1}}f(x,y)dA+\iint_{D_2}f(x,y)dA\]
  • \(1\) 的积分就是区域 \(D\) 的面积,即 \[\iint_D1dA=A\]其中 \(A\) 为区域 \(D\) 的面积。可以理解为,底面积为 \(A\) , 高为 \(1\) 的立体的体积,在数值上与它的底面积一样。
  • (比较定理),若 \(f(x,y)\le g(x,y), (x,y)\in D\),则有 \[\iint_Df(x,y)dA\le\iint_Dg(x,y)dA\]我们只需要在积分的定义里面,用 \(g(x,y)-f(x,y)\) 来代替 \(f(x,y)\) 即可。
  • 若 \(m\le f(x,y)\le M, (x,y)\in D\),则有估值定理 \[mA\le\iint_Df(x,y)\le MA\]直接应用上一个性质,就可以得到这个结论。
  • (中值定理):至少存在一点 \((x_0, y_0)\in D\),使得\[\iint_Df(x,y)dA=f(x_0,y_0)A\]证明:由估值定理,\[mA\le\iint_Df(x,y)\le MA\]可以得到 \[m\le\frac{1}{A}\iint_Df(x,y)\le M\]由连续函数的介值定理,介于 \((m,M)\) 之间的任一数 \(c\),都存在一点 \((x_0,y_0)\in D\),使得 \(c=f(x_0,y_0)\),令 \(c=\frac{1}{A}\iint_Df(x,y)\) 就得到了结论。