三重积分的定义与计算

类似于二重积分,我们可以得到三重积分的定义与计算方法。

笔记下载:三重积分

1,三重积分的定义:我们可以考虑空间中的物体,它的密度为 \(f(x,y,z)\),我们求它的质量。

同定积分、二重积分一样,我们将物体所占据的空间 \(V\) 通过 \(x=\)常数, \(y=\)常数,\(z=\)常数将 \(V\) 划分成很小的一块块,在每个小块上,它的密度可以认为是常数,我们以其中任意一点的密度近似整个小块的密度 \(f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\),乘以这个小块的体积,则这一小块上的质量近似为 \[\Delta m_i\approx f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta V_i=f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta x_i\Delta y_i\Delta z_i\]

所有这些小块的质量加起来就是整个物体的质量,它的近似值为

\[m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i\approx \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta V_i\]

当每一小块的体积趋近于 \(0\) 时,或者 \(\Delta x_i,\Delta y_i,\Delta z_i\) 都趋近于 \(0\) 时,这个近似值的极限就是物体的质量的真实值。即 \[m=\lim_{\Delta V\to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta V_i\]

其中 \(\Delta V\) 为最大的那个小块的体积。

我们将极限与求和两项计算用一个符号\(\iiint_V\)来表示, 这就是三重积分,\[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\lim_{\Delta V\to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta V_i\]

或者 \[\iiint_Vf(x,y,z)dV=\lim_{\begin{array}{c} \Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0\\ \Delta z\to 0\end{array}} \sum_{i=1}^{n}f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta x_i\Delta y_i\Delta y_i\]

2,三重积分的性质:三重积分与二重积分有着相同的性质

  • \(\displaystyle\iiint_VCf(x,y,z)dV=C\iiint_Vf(x,y,z)dV\);
  • \(\displaystyle\iiint_V(f(x,y,z)\pm g(x,y,z))dV=\iiint_Vf(x,y,z)dV\pm \iiint_Vg(x,y,z)dV\);
  • 若 \(V=V_1+V_2\),则\[\iiint_Vf(x,y,z)dV= \iiint_{V_1}f(x,y,z)dV+\iiint_{V_2}f(x,y,z)dV\]
  • \(\displaystyle\iiint_V1\cdot dV=V\),就是区域的体积。

3,直角坐标下三重积分的计算:与二重积分一样,我们是将三重积分化成三次定积分来计算。关键是如何找到积分的上、下限。

(1)我们假设先积分 \(z\),再积分 \(y\),最后来积分 \(x\) 来说明如何找到积分的上、下限。假设积分区域的底为曲面 \(z=g_1(x,y)\),顶为曲面 \(z=g_2(x,y)\),则 \(z\) 的上、下限为 \(g_2(x,y), g_1(x,y)\)。

再把积分区域投影到 \(xOy\) 平面。跟二重积分一样,如果投影到平面的部分可以写成 \(D=\{(x,y)|a\le x\le b, h_1(x)\le y\le h_2(x)\}\),则 \(y\) 的积分上、下限分别为 \(h_2(x), h_1(x)\),\(x\) 的积分上、下限分别为 \(b,a\)。

这样的话,积分区域可以表示成 \(V=\{(x,y,z)|a\le x\le b, y\le h_1(x)\le y\le h_2(x), g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\}\),所以三重积分可以化成三次积分

\begin{align*}\iiint_Vf(x,y,z)dV&=\iint_D\int_{g_1(x,y)}^{h_2(x,y)}f(x,y,z)dzdA\\ &=\int_a^b\int_{h_1(x)}^{h_2(x)}\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)dzdydx\end{align*}

同理,如果先积分 \(y\) 或者先积分 \(x\),采用同样的方法与步骤,可以得到积分的上、下限。

我们来看两个例题。

例1:计算 \(\displaystyle \iiint_VxdV\),其中 \(V\) 是由三个坐标面与平面 \(x+2y+z=1\) 所围成的立体。

解:三个坐标面的表达式分别为 \(z=0,y=0, z=0\) 分别对应 \(xOy\) 平面, \(xOz\) 平面与 \(yOz\) 平面。可以取任一一个变量为最内层的积分变量(最先积分的变量)。

我们先积分 \(z\)。首先从平面的截距式方程,我们知道 \(x+2y+z=1\) 在 \(z\) 轴上的截距为 \(1\),所以这个平面在坐标面 \(z=0\) 的上方。而 \(x+2y+z=1\) 可以表示成 \(z=1-x-2y\),所以 \(0\le z\le 1-x-2y\)。

我们将积分区域投影到 \(xOy\) 平面,得到的区域就是由 \(x=0,y=0\) 以及直线 \(x+2y=1\) 所围成的部分。与二重积分的计算一样,这个区域可以表示成 \((x,y)|0\le x\le 1, 0\le y\le \frac{1}{2}-\frac{x}{2}\)。

所以整下积分区域可以表示成 \(V=\{(x,y,z)|0\le x\le 1, 0\le y\le \frac{1}{2}-\frac{x}{2},0\le z\le 1-x-2y\}\)。这个积分上、下限也可以由积分区域的图形得到。所以三重积分为

\begin{align*}\iiint_VxdV&=\int_0^1\int_0^{\frac{1}{2}-\frac{x}{2}}\int_0^{1-x-2y}xdzdydx\\ &=\int_0^1\int_0^{\frac{1}{2}-\frac{x}{2}}x\cdot z\Big|_0^{1-x-2y}dydx\\ &=\int_0^1\int_0^{\frac{1}{2}-\frac{x}{2}}x(1-x-2y)dydx \\&= \int_0^1xy-x^2y-xy^2\Big|_0^{\frac{1}{2}-\frac{x}{2}}\\ &=\frac{1}{4}\int_0^1(x-2x^2+x^3)dx\\ &=\frac{1}{4}\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right)\Big|_0^1\\ &=\frac{1}{48}\end{align*}

例2:计算由曲面 \(x^2+y^2=9, z=1\) 和 \(x+z=5\) 所围成的立体的体积。

解:体积公式为 \(\displaystyle V=\iiint_V1\cdot Dv\)。我们可以画图得到积分上、下限。也可以直接分析。因为 \(x+z=5\) 在 \(z\) 轴上的截距为 \(z=5\) (也就是 \(x=0\) 的时候 \(z\) 的值),而 \(z\) 轴在圆柱面 \(x^2+y^2=9\) 的内部,所以积分区域可以表示成

\[V=\{(x,y,z)|x^2+y^2\le 9, 1\le z\le 5-x\}\]所以三重积分可以表示成

\begin{align*}\iiint_V dV&=\iint_D\int_1^{5-x}dzdA=\iint_{x^2+y^2\le9}z\Big|_1^{5-x}dA\\ &=\iint_{x^2+y^2\le 9}(4-x)dA\end{align*}

我们看到积分区域在 \(xOy\) 平面上的投影是一个圆域,所以采用极坐标会比较方便计算。

\begin{align*}\iint_{x^2+y^2\le 9}(4-x)dA&=\int_0^{2\pi}\int_0^3 (4-r\cos\theta)rdrd\theta\\ &=\int_0^{2\pi}(2r^2-\frac{r^3}{3}\cos\theta)d\theta\\ &=\int_0^{2\pi}(18-9\cos\theta)d\theta\\&= (18\theta-9\sin\theta)\Big|_0^{2\pi}=36\pi\end{align*}

当然,这个例子也可以直接利用二重积分得到。由二重积分的概念可以知道,体积可以用上曲面减去下曲面的二重积分。所以

\[V=\iint_D(5-x-1)dA=\iint_{x^2+y^2\le 9}(5-x-1)dA=\iint_{x^2+y^2\le 9}(4-x)dA\]