梯度、旋度与散度

梯度、旋度与散度是场论中的几个基本向量,它们有各自的物理意义。我们已经知道,梯度方向是函数增长最快的方向,梯度的反方向是函数减少最快的方向,那么,散度与旋度又有什么意义呢?

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我们先给出这三个向量的定义。

1,梯度:这个我们之前学过的,一个函数的梯度是一个向量

\[\text{grad}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\]

如果定义微分算子 \(\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\),那么梯度可以简写为 \(\nabla f=\text{grad}f\)。

梯度方向是函数增长最快的方向,梯度的反方向是函数减少最快的方向。

2,散度:一个向量函数 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z))\) 的散度定义为 \[\text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\]

用 \(\nabla\) (nabla)算子可以记为

\[\text{div}\vec{F}=\nabla\cdot \vec{F}\]

中间的点,当作内积一样的运算。只是我们要注意,不像内积,\(\nabla\) 算子不能跟函数交换。也就是说 \(\nabla\cdot \vec{F}\ne \vec{F}\cdot\nabla\)。

因为向量函数的散度是一个数量函数, \[\nabla\cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\]

而 \[\vec{F}\cdot\nabla=P\frac{\partial }{\partial x}+Q\frac{\partial }{\partial y}+R\frac{\partial }{\partial z}\] 仍然是一个算子。

3,旋度:一个向量函数 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z))\) 的旋度 \(\text{curl}\vec{F}\)定义为

\[\text{curl}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}\\ P(x,y,z)&Q(x,y,z)&R(x,y,z)\end{vmatrix}\]

有些教材将旋度写成 \(\text{rot}\vec{F}=\nabla \times\vec{F}\)。

同样的,叉积的运算规则也不适用于 \(\nabla\) 算子。跟前面讲过的一样,交换 \(\vec{F}\) 与 \(\nabla\) 的顺序,会得到完全不同的两个东西。

这三个向量的定义不复杂,计算也简单,我们仅举一例。

例1:设 \(\vec{F}=xy\vec{i}+(y^2-z^2)\vec{j}+yz\vec{k}\),求 \(\vec{F}\) 的散度与旋度。

解:\[\nabla \vec{F}=\frac{\partial }{\partial x}(xy)+\frac{\partial }{\partial y}(y^2-z^2)+\frac{\partial }{\partial z}(yz)=y+2y+y=4y\]

\begin{align*}\nabla\times\vec{F}&=\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}\\ xy&y^2-z^2&yz\end{vmatrix}\\ &=3z\vec{i}+0\vec{j}+x\vec{k}=(3z,0,x)\end{align*}

\(\vec{i}\) 的坐标为 \(3z\),视频里有错误。

4,散度与旋度的物理意义:

散度:流体的密度变化,或者流流体的扩散情况。例如,一滴墨水滴入水中,它在水中的扩散方向与速度。

旋度:流体的流动时是否有旋转,以及旋转的方向与大小。例如,我们转动水桶里的水时,它的旋涡指向下的。这也是平面向量的旋度始终指向第三个向量(\(z\) 方向)的物理解释。