格林公式

格林(Green)公式是平面曲线积分的基本定理,它与高斯公式、斯托克斯(Stokes)公式称为多元微积分的三大定理。

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要叙述格林公式,我们要先了解单连通与复连通区域的概念。

1,连通、单连通、复连通区域:

(1)连通区域:如果区域内任何两点都可以用一条整个位于区域内部的折线连接起来,我们称这样的区域为连通区域;

(2)单连通区域:如果区域内部任何一条闭曲线所围成的部分,全部属于该区域,称这样的区域为单连通区域。

单连通区域的另一个定义为:如果区域内部的任何一条闭曲线可以连续收缩成一点,称该区域为单连通区域。

(3)复连通区域:不属于单连通的连通区域称为复连通区域。最常见的复连通区域就是区域内部有“洞”的情形。

连通的有界区域是有边界的。我们知道对坐标的曲线积分是有方向的,所以我们也要给出区域边界曲线的方向。

2,边界曲线的定向:我们可以想象平面区域为地面上的一块,如果我们沿区域的边界走的时候,区域的内部在我们的左手边。那么曲线的方向与我们前进的方向一致。

从这个定义,我们知道,单连通区域的边界曲线,正向为逆时针方向。复连通区域,外部边界曲线为逆时针方向,内部边界为顺时针方向。

现在我们可以叙述格林公式了。

3,定理(格林公式):设 \(L\) 是分段光滑的闭曲线,其围成部分为平面上的单连通区域 \(D\), 若 \(P(x,y)\) 和 \(Q(x,y)\) 在 \(D\) 上具有一阶连续偏导数,则有

\[\oint_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

这个定理将区域边界上的曲线积分与区域内部的二重积分联系起来了。它相当于平面上的牛顿-莱不尼兹公式。牛顿-莱不尼兹公式可以看成是直线上,边界上的函数值与区间内部的积分之间的关系。

证明:(1)我们先考虑凸区域(任何区域内部两点的连线都整个位于区域内),

我们将曲线分成如图的两部分, \(L_1:y=\phi_1(x)\), \(x\) 从 \(a\) 到 \(b\);\(L_2: y=\ph_2(x)\),\(x\) 从 \(b\) 到 \(a\)。所以

\begin{align*}\int_LP(x,y)dx&=\int_{L_1}P(x,y)dx+\int_{L_2}P(x,y)dx\\ &=\int_a^bP(x,\phi_1(x))dx+\int_b^aP(x,\phi_2(x))dx\\ &=\int_a^bP(x,\phi_1(x))dx-\int_a^bP(x,\phi_2(x))dx\\ &=\int_a^b(P(x,\phi_1(x))dx-P(x,\phi_2(x)))dx\\ &=-\int_a^b(P(x,\phi_2(x))dx-P(x,\phi_1(x)))dx\\&=-\int_a^b\left(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\right)dx=-\iint_D\frac{\partial P}{\partial y}dydx\end{align*}

同理,我们将曲线分成左右两部分,

完全同样的推导,我们得到

\[\int_LQ(x,y)dy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy\]

结合起来, 我们就得到了凸区域上的格林公式:

\[\int_LP(x,y)dx+Q(x,ydy)=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy\]

(2)非凸区域。我们将非凸区域划分成向个凸区域,每一个凸区域都成立格林公式。

但是在每个辅助线上,都有两个相反的方向,所以在辅助线上,积分为 \(0\)。所以在非凸区域上,格林公式仍然成立。

我们来看一个直接应用格林公式的例子。

例:计算 \(\displaystyle\int_Lx^2ydx-xy^2dy\), 其中 \(L\) 是正向圆周 \(x^2+y^2=4\)。

解:被积函数是多项式,在整个平面上可导、连续,所以满足格林公式的条件。\(P(x,y)=x^2y, Q(x,y)=-xy^2\),由格林公式

\[\int_Lx^2ydx-xy^2dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\iint_D\left(-y^2-x^2\right)dxdy\]

\(D\) 是圆盘 \(x^2+y^2\le 4\),所以采用极坐标比较方便,

\[\iint_D\left(-y^2-x^2\right)dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^2(-r^2)rdrd\theta=-\int_0^{2\pi}\frac{r^4}{4}\Big|_0^{2}d\theta=-4\theta\Big|_0^{2\pi}=-8\pi\]