曲面的定向

要定义对坐标的曲面积分(或者对向量的曲面积分),我们需要了解曲面的定向问题(有向曲面)。

笔记下载:曲面的定向

1,双侧曲面:我们一般见到的曲面是双侧曲面,就像一张纸,有两面。一个曲面,在同一个点,有两个法向量,如果不越过曲面的边界,我们不可能将法向量连续移动到同一个点,而法向量变成另一个方向。

单侧曲面:可以将法向量在曲面上连续移动到一个点,而法向量相反。

单侧曲面最典型的例子是 M\”obius (莫比乌斯带)。将一长条形纸条,对边交叉粘贴,就得到了莫比乌斯带,我们沿着这个曲面涂色,可以不越过边界而将曲面所有地方涂上色。

对于双侧曲面,就不可能做到这样。平常的一张纸,要涂满所有地方,必须翻面才可以。

我们之后的内容,都假设曲面是双侧曲面。

2,有向曲面:对于双侧曲面,它的法向量有两个。我们指定其中一个法向量为正向,就给出了曲面的定向,这样的曲面叫做有向曲面。

换句话说,指定了法向量的曲面就是有向曲面。

3,曲面的侧:假设曲面的法向量为 \(\vec{n}=(A,B,C)\),那么若

  • \(C>0\) 为曲面的上侧;
  • \(C<0\) 为曲面的上侧;
  • \(B>0\) 为曲面的右侧;
  • \(B<0\) 为曲面的左侧;
  • \(A>)\) 为曲面的前侧;
  • \(A<0\) 为曲面的后侧。

例如,如果曲面的方程为 \(z=f(x,y)\) 那么曲面有两个法向量

  • \(\vec{n}=(-f_x,-f_y,1)\) 为曲面的上侧;
  • \(\vec{n}=(f_x,f_y,-1)\) 为曲面的下侧;