# 曲线积分基本定理与全微分求积

1，定理（曲线积分的基本定理）：设 $$L$$ 是区域 $$D$$ 上连接点 $$A$$ 和 $$B$$ 的一条光滑曲线，它的参数方程为 $$\vec{r}(t), \vec{r}(a)=A, \vec{r}(b)=B$$。设函数 $$f$$ 是可微函数并且 $$\nabla f$$ 是连续的，则有 $\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)$

\begin{align*}\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}&=\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\right)\cdot(x'(t), y'(t)+z'(t))dt\\&=\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y'(t)+\frac{\partial f}{\partial z}z'(t)\right)dt\\ &=\int_a^b\frac{df}{dt}dt=f(\vec{b})-f(\vec{a})=f(B)-f(A)\end{align*}

2，保守向量场：若 $$\vec{F}=\nabla f$$，我们称 $$\vec{F}$$ 为保守向量场，$$f$$ 称为 $$\vec{F}$$ 的势函数。

3，定理（保守向量场的条件）：设区域 $$D$$ 单连通区域并且 $$\vec{F}$$ 在 $$D$$ 一阶连续可导，则 $\vec{F}=\nabla f\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},& \vec{F}=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}\\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}&\vec{F}=\{P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\end{cases}$

$P(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}, Q(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial y}, R(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial z}$

$\frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=1+3x^2y^2$

$\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+g'(y)=1+3x^2y^2$

4，全微分求积分：由曲线积分的基本定理，我们知道，一个保守场的积分，等于它的势函数在端点处的值之差。但是若 $$\vec{F}=\nabla f$$，则 $\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$ 或者 $\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

$\frac{\partial P}{\partial z}=y, \frac{\partial R}{\partial x}=x,\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}$

$[\frac{\partial Q}{\partial z}=x, \frac{\partial R}{\partial y}=x,\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$

$f=\int P(x,y,z)dx=\int(e^x\cos y+yz)dx=e^x\cos y+xyz+g(y,z)$我们利用另外两个等式确定 $$g(y,z)$$。因为

$Q(x,y,z)=xz-e^x\sin y=\frac{\partial f}{\partial y}=-e^x\sin y+xz+\frac{\partial g}{\partial y}$比较两边的项，$$xz-e^x\sin y=-e^x\sin y+xz+\frac{\partial g}{\partial y}$$，我们得到 $$\frac{\partial g}{\partial y}=0$$，也就是 $$g(y,z)=g(z)$$，它与 $$y$$ 无关。

$R(x,y,z)=xy+z=\frac{\partial f}{\partial z}=xy+g'(z)$所以 $$g'(z)=z$$，只要取 $$g(z)=\frac{1}{2}z^2$$ 就行。所以 $f(x,y,z)=e^x\cos y+xyz+\frac{1}{2}z^2$就是我们要求的一个函数。

$f=\int Pdx=\int ydx=xy+g(y,z), \quad Q=x=\frac{\partial f}{\partial y}=x+\frac{\partial g}{\partial y}$

$f=xy+g(z), \quad R=4=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial g}{\partial z}$

$\int_{(1,1,1)}^{(2,3,-1)}ydx+xdy+4dz=f(2,3,-1)-f(1,1,1)=6-4-5=-3$