曲线积分基本定理与全微分求积

对于曲线积分,我们有类似于牛顿-莱不尼兹公式的基本定理。我们回顾一下牛顿-莱不尼兹公式: \[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]就是函数的积分等于它的原函数在端点处的值之差。

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对于曲线积分,我们有下述的曲线积分基本定理:

1,定理(曲线积分的基本定理):设 \(L\) 是区域 \(D\) 上连接点 \(A\) 和 \(B\) 的一条光滑曲线,它的参数方程为 \(\vec{r}(t), \vec{r}(a)=A, \vec{r}(b)=B\)。设函数 \(f\) 是可微函数并且 \(\nabla f\) 是连续的,则有 \[\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)\]

我们可以这样理解, \(f\) 是 \(\nabla f\) 的原函数,曲线的起点在 \(A\),终点在 \(B\),这个定理就跟牛顿-莱不尼兹公式具有相同的意义了。就是曲线上函数的积分,等于它的原函数在端点处的值之差。

证明:我们设 \(\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\),则

\begin{align*}\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}&=\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\right)\cdot(x'(t), y'(t)+z'(t))dt\\&=\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y'(t)+\frac{\partial f}{\partial z}z'(t)\right)dt\\ &=\int_a^b\frac{df}{dt}dt=f(\vec{b})-f(\vec{a})=f(B)-f(A)\end{align*}

我们看到了,曲线积分基本定理的被积向量函数为一个函数的梯度。如果一个向量函数为某个数量函数的梯度,这样的向量函数我们称为保守向量场。

2,保守向量场:若 \(\vec{F}=\nabla f\),我们称 \(\vec{F}\) 为保守向量场,\(f\) 称为 \(\vec{F}\) 的势函数。

曲线积分基本定理说明了,若 \(\vec{F}\) 是保守向量场,则 \(\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)\)。

现在我们给出保守向量场满足的判断方法。

3,定理(保守向量场的条件):设区域 \(D\) 单连通区域并且 \(\vec{F}\) 在 \(D\) 一阶连续可导,则 \[\vec{F}=\nabla f\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},& \vec{F}=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}\\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}&\vec{F}=\{P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\end{cases}\]

证明:“\(\Rightarrow\)” 若 \(\vec{F}=\nabla f\),则

\[P(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}, Q(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial y}, R(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial z}\]

由混合偏导数的关系, \[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^f }{\partial y\partial x}=\frac{\partial^f }{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial Q}{\partial x}\]也就是说, \[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]

同样的方式,可以证明其它几个等式。

将上面的证明过程反过来,就得到了充分条件。

例1:设 \(\vec{F}=2xy^3\vec{i}+(1+3x^2y^2)\vec{j}\),证明 \(\vec{F}\) 是保守场,并求其势函数。

解:因为 \[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2xy^3)=6xy^2, \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(1+3x^2y^2)=6xy^2\]

所以 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\),而且 \(6xy^2\) 是多项式,它在整个平面上连续可导,所以 \(\vec{F}\) 是保守向量场。现在我们求它的势函数。

因为 \[\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=2xy^3 \quad \Rightarrow\quad f=\int\frac{\partial f}{\partial x}dx=\int2xy^3dx=x^2y^3+g(y)\]

这里的任意常数变成了只与 \(y\) 有关的函数 \(g(y)\),这是因为求偏导数的时候,将 \(y\) 看成常数。所以关于 \(x\) 求偏导数的时候,只与 \(y\) 有关的函数就变成了 \(0\)。

现在我们来确定 \(g(y)\),因为

\[\frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=1+3x^2y^2\]

由前面我们得到的 \(f\) 的表达式,

\[\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+g'(y)=1+3x^2y^2\]

所以 \(g'(y)=1\),只需要令 \(g(y)=y\),所以我们得到 \[f=x^2y^3+y\]

它就是 \(\vec{F}\) 的势函数。当然,我们对 \(f\) 加上一个任意常数,仍然是 \(\vec{F}\) 的势函数。

4,全微分求积分:由曲线积分的基本定理,我们知道,一个保守场的积分,等于它的势函数在端点处的值之差。但是若 \(\vec{F}=\nabla f\),则 \[\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\] 或者 \[\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz\]

我们看到这就是势函数的全微分,所以曲线积分就是一个函数的全微分的积分。

反过来,若 \(Pdx+Qdy+Rdz\) 是全微分,则 \(\vec{F}=(P,Q,R)=\nabla f\) 是保守场,所以它的积分也只需要求出它的势函数就行。

例2:证明 \((e^x\cos y+yz)dx+(xz-e^x\sin y)dy+(xy+z)dx\) 是一个函数的全微分,并求出一个这样的函数。

解:\[\frac{\partial P}{\partial y}=-e^x\sin y+z, \frac{\partial Q}{\partial x}=z-e^x\sin y, \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]

\[\frac{\partial P}{\partial z}=y, \frac{\partial R}{\partial x}=x,\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}\]

\[[\frac{\partial Q}{\partial z}=x, \frac{\partial R}{\partial y}=x,\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\]

又因为 \(P,Q,R\) 在整个空间连续可导,所以 \((e^x\cos y+yz)dx+(xz-e^x\sin y)dy+(xy+z)dx\) 是一个函数的全微分。现在我们来求这个函数。

\[f=\intP(x,y,z)dx=\int(e^x\cos y+yz)dx=e^x\cos y+xyz+g(y,z)\]我们利用另外两个等式确定 \(g(y,z)\)。因为

\[Q(x,y,z)=xz-e^x\sin y=\frac{\partial f}{\partial y}=-e^x\sin y+xz+\frac{\partial g}{\partial y}\]比较两边的项,\(xz-e^x\sin y=-e^x\sin y+xz+\frac{\partial g}{\partial y}\),我们得到 \(\frac{\partial g}{\partial y}=0\),也就是 \(g(y,z)=g(z)\),它与 \(y\) 无关。

\[R(x,y,z)=xy+z=\frac{\partial f}{\partial z}=xy+g'(z)\]所以 \(g'(z)=z\),只要取 \( g(z)=\frac{1}{2}z^2\) 就行。所以 \[f(x,y,z)=e^x\cos y+xyz+\frac{1}{2}z^2\]就是我们要求的一个函数。

例3:求积分 \(\displaystyle \int_{(1,1,1)}^{(2,3,-1)}ydx+xdy+4dz\)。

解:因为 \[\frac{\partial P}{\partial y}=1,\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \frac{\partial P}{\partial z}=0,\frac{\partial Q}{\partial z}=0,\frac{\partial R}{\partial x}=0,\frac{\partial R}{\partial y}=0\]

所以 \(ydx+xdy+4dz\) 是一个函数的全微分。我们现在来求这个函数。

\[f=\int Pdx=\int ydx=xy+g(y,z), \quad Q=x=\frac{\partial f}{\partial y}=x+\frac{\partial g}{\partial y}\]

所以 \(\frac{\partial g}{\partial y}=0\),也就是说 \(g(y,z)=g(z)\)。

\[f=xy+g(z), \quad R=4=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial g}{\partial z}\]

所以 \(\frac{\partial g}{\partial z}\),只要取 \(g(z)=4z\) 即可。所以 \[f=xy+4z\]

由曲线积分基本定理,我们有

\[\int_{(1,1,1)}^{(2,3,-1)}ydx+xdy+4dz=f(2,3,-1)-f(1,1,1)=6-4-5=-3\]