对面积的曲面积分

我们考虑一个非均匀薄曲面片,它的密度为 \(f(x,y,z)\),我们如何求出它的质量?这就引出了对面积的曲面积分。

笔记下载:对面积的曲面积分

1,曲面片的质量:我们将曲面片用 \(x\)=常数,\(y\)=常数划分面一个个更小的曲面片,

在每一个小曲面片上,曲面片的密度可以近似为常数。取该曲面片上任一一点的密度 \(f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\) 作为整个小曲面片的密度,我们就得到小曲面片质量的近似值

\[\Delta m_i\approx f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta S_i\]其中 \(\Delta S_i\) 是这一块小曲面片的面积。

我们将所有小曲面片的质量加起来就是整个曲面片的质量,

\[m=\sum_{i=1}^n\Delta m_i\approx \sum_{i=1}^nf(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta S_i\]

那么,当每一个小曲面片的面积趋于 \(0\) 时,上式的极限就是曲面片质量的精确值。也就是说

\[m=\lim_{\Delta S\to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta S_i\]

其中 \(\Delta S\) 是所有小曲面片中,最大的那一块的面积。

2,对面积的曲面积分:上面的式子里,我们又看到了和式的极限,与之前一样,我们将它用积分号代替,

\[\iint_Sf(x,yx,z)dS=\lim_{\Delta S\to 0} \sum_{i=1}^nf(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\Delta S_i\]

称为曲面 \(S\) 上对面积的曲面积分。因为被积变量是 \(dS\),称为面积元,所以是对面积的曲面积分。

3,对面积的曲面积分的计算:假设曲面是由函数 \(S: z=g(x,y)\) 给出,\(D\) 为 \(S\) 在 \(xOy\) 平面上的投影,之前我们计算曲面的面积的时候,已经知道

\[dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}dxdy\]

所以,曲面积分为

\[\iint_Sf(x,y,z)dS=\iint_Df(x,y,g(x,y))\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}dxdy\]

我们来看例题。

例1,计算曲面积分 \(\iint_S\frac{dS}{z}\),其中 \(S\) 是球面 \(x^2+y^2+z^2=a^2\) 被平面 \(z=h, 0\le h\le a\) 所截出的顶部。

解 :我们知道,截出来的这一部分球面,边缘是曲线 \(x^2+y^2=a^2-h^2\),这一部分曲面在 \(xOy\) 平面上的投影是 \(x^2+y^2\le a^2-h^2\) 。

曲面的方程可以表示为 \(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\), \[g_x=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}, g_y=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\]

所以 \[dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}dxdy=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\]

从而曲面积分为

\begin{align*}\iint_S\frac{dS}{z}&=\iint_{x^2+y^2\le a^2-h^2}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\cdot\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy\\ &=\iint_{x^2+y^2\le a^2-h^2}\frac{a}{a^2-x^2-y^2}dxdy \\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{a^2-r^2}}\frac{a}{a^2-r^2}rdrd\theta\\ &=a\int_0^{2\pi}-\frac{1}{2}\ln|a^2-r^2|\Big|_0^{\sqrt{a^2-h^2}}\\ &=\frac{a}{2}\int_0^{2\pi}(2\ln a-2\ln h)d\theta\\& =a(\ln a-\ln h)\theta\Big|_0^{2\pi}=2\pi (\ln a-\ln h) \\ &=2\pi a\ln\frac{a}{h}\end{align*}

例2:计算 \(\displaystyle\oiint_SxyzdS\),其中 \(S\) 由 \(x=0,y=0,z=0\) 及 \(x+y+z=1\) 所围成的闭曲面。

解:这个曲面积分可以写成:

\[\oiint_SxyzdS=\iint_{S_1}+\iint_{S_2}+\iint_{S_3}+\iint_{S_4}\]

其中 \(S_1: x=0; S_2: y=0; S_3:z=0\),所以 \[\iint_{S_1}xyzdS+\iint_{S_2}xyzdS+\iint_{S_3}xyzdS=0\]

\[S_4: z=1-x-y, D_4=\{(x,y)|0\le x\le 1, 0\le y\le 1-x\}\]

所以我们得到 \(g_x=1, g_y=1, dS=\sqrt{1+1+1}dxdy=\sqrt{3}dxdy\),积分为

\begin{align*}\iint_{S_4}xyzdS&=\iint_{D_4}xy(1-x-y)\sqrt{3}dxdy \\&=\sqrt3\int_0^1\int_0^{1-x}x\left((1-x)y-y^2\right)dydx\\ &=\sqrt3\int_0^1x\left(\frac{1}{2}(1-x)y^2-\frac{1}{3}y^3\right)\Big|_0^{1-x}dx\\ &=sqrt3\int_0^1x\left(\frac{1}{2}(1-x)^3-\frac{1}{3}(1-x^3)\right)dx\\ &=\frac{\sqrt3}{6}\int_0^1x(1-x)^3dx\\ &= \frac{\sqrt3}{6}\int_0^1x(1-2x+3x^2-x^3)dx\\ &=\frac{\sqrt3}{6}\left(\frac{x^2}{2}-x^3+\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{5}x^5\right)\Big|_0^1\\ &=\frac{\sqrt3}{120}\end{align*}