对坐标的曲线积分的计算

我们分几种情况给出对坐标的曲线积分的计算公式。

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1,对坐标的曲线积分的计算:

(1)若 \(C\) 用参数方程 \(\vec{r}(t)=(x(t), y(t))\)\),\(t\) 由起点 \(t=\alpha\) 到终点 \(\beta\)(\(\beta\) 可以比 \(\alpha\) 小),则 \[\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}(P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t))dt\]

(2)若 \(C\) 为空间曲线,由参数方程 \(\vec{r}(t)=(x(t), y(t)),z(t)\)\) 给出, \(t\) 由起点 \(t=\alpha\) 到终点 \(\beta\)(\(\beta\) 可以比 \(\alpha\) 小),\(\vec{F}(x,y,z)=(P(x,y,z). Q(x,y,z), R(x,y,z))\),则 \[\int_CP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=\int_{\alpha}^{\beta}(P(x,y,z)x'(t)+Q(x,y,z)y'(t)+R(x,y,z)z'(t))dt\]

(3)若 \(C\) 由函数 \(y=g(x)\),\(x\) 从 \(a\) 到 \(b\)(\(b\) 可以比 \(a\)小),则

\[\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_a^b (P(x,g(x))+Q(x,g(x))g'(x))dx\]

例1:求积分 \(\int_Cxydx\),其中 \(C\) 为抛物线 \(y^2=x\) 从点 \((1,-1)\) 到 \((1,1)\) 之间的一段。

解:因为 \(C\) 可以表示成 \(x=y^2\),我们用 \(y\) 作为自变量会比较方便,\(dx=2ydy\),\(y\) 的变化从 \(-1\) 到 \(1\)。所以积分为

\[\int_Cxydx=\int_{-1}^1y^2y\cdot 2ydy=\int_{-1}^12y^4dy=\frac{2}{5}y^5\Big|_{-1}^1=\frac{4}{5}\]

例2:求积分 \(\int_C2xydx+x^2dy\),其中 \(C\) 为 (1)\(y=x^2\) 从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 之间的一段;(2)\(x=y^2\) 从\((0,0)\) 到 \((1,1)\) 之间的一段;(3)从\((0,0)\) 沿 \(x\) 轴到 \((1,0)\) 再到 \((1,1)\) 的折线。

解:(1)以 \(x\) 为积分变量,

\[\int_C2xydx+x^2dy=\int_0^12x\cdot x^2dx+x^2\cdot2xdx=\int_0^14x^3dx=x^4\Big|_0^1=1\]

(2)以 \(y\) 为积分变量, 积分可表示为

\[\int_C 2xydx+x^2dy=\int_0^1 2y^2\cdot y\cdot 2ydy+y^4dy=\int_0^1 5y^4dy=y^5\Big|_0^1=1\]

(3)我们分成两段来求。记 \(C=C_1+C_2\),\(C_1\) 为 \(y=0\), \(x\) 从 \(0\) 到 \(1\),\(dy=0\); \(C_2\) 为 \(x=1\),\(y\) 从 \(0\) 到 \(1\),\(dx=0\) 因为 \(x=1\) 是常数。所以积分为

\begin{align*}\int_C2xydx+x^2dy&=\int_{C_1}2xydx+x^2dy+\int_{C_2}2xydx+x^2dy\\ &=\int_0^1 2x\cdot 0dx +x^2\cdot 0+\int_0^1 2\cdot 1\cdot 0+1dy=y\Big|_0^1=1\end{align*}

从上面我们可以看到,起点与终点相同的这三条曲线,积分值是一样的。这并不奇怪,对于有些函数,只要起点与终点相同,沿任何曲线的积分都是一样的。这就是积分与路径无关的概念。函数满足一定的条件,它的积分就与路径无关。

我们最后看一个向量形式的曲线积分。

例3:求积分 \(\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}\),其中 \(\vec{F}=x^2\vec{i}+z\vec{j}-y\vec{k}\),\(C\) 为曲线 \(\vec{r}(t)=kt\vec{i}+a\cos t\vec{j}+a\sin t\vec{k}\),\(t\) 从 \(0\) 到 \(\pi\) 的部分。

解:由向量形式的曲线积分,

\begin{align*}\int_C\vec{F}(x,y)\cdot d\vec{r} &=\int_0^{\pi}\vec{F}(x,y,z)\cdot(x'(t),y'(t),z'(t))dt\\ & = \int_0^{\pi}(x^2,z,-y)\cdot (x'(t),y'(t),z'(t))dt\\&=\int_0^{\pi}(k^2t^2,a\sin t,-a\cos t)\cdot (k,-a\sin t, a\cos t)dt\\ &=\int_0^{\pi}(k^3t^2-a^2)dt=\left(\frac{1}{3}k^3t^3-a^2t\right)\Big|_0^{\pi}\\ &=\frac{1}{3}k^3\pi^3-a^2\pi\end{align*}