泰勒级数与麦克劳林级数

现在我们转到一般的函数的幂级数展开。给定一个函数,如何确定它的幂级数展开式?它应该满足什么条件?

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1,幂级数展开式:假设函数 \(f(x)\) 有幂级数展开式 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n (x-C)^{n}\),那么这些系数 \(a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\) 应该取什么值?

令 \(x=C\),代入表达式得 \(a_0=f(C)\);

对表达式两边求导,\(f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots\),再令 \(x=C\),得到 \(f'(C)=a_1\);

对表达式两边求二阶导数,\(f^{\prime\prime}(x)=2a_2+3\cdot 2a_3x+\cdots+n(n-1)a_nx^{n-2}+\cdots\),再令 \(x=C\),得到 \(f^{\prime\prime}(C)=2a_2\),所以 \(a_2=\frac{f^{\prime\prime}(C)}{2}\);

对表达两边求三阶导数,\(f^{\prime\prime\prime}(x)=3\cdot 2+4\cdot3\cdot2a_4x+\cdots+n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3}+\cdots\),再令 \(x=C\),得到 \(f^{\prime\prime}(C)=3\cdot 2\cdot 1a_3\),所以 \(a_3=\frac{f^{\prime\prime}(C)}{3!}\);

依此进行,我们得到 \(f^{(n)}(C)=n!a_n \Rightarrow a_n=\frac{f^{(n)}(C)}{n!}\)。也就是说

\[f(x)=f(C)+f'(C)(x-C)+\frac{f^{\prime\prime}(C)}{2!}(x-C)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}}{n!}(x-C)^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}}{n!}(x-C)^n\]

所以我们有下列的定理

2,定理:若 \(f(x)\) 在 \(x=C\) 附近无限次可微,则 \(f(x)\) 在 \(C\) 附近 可展开成幂级数

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}}{n!}(x-C)^n\]

我们称这个幂级数为 \(f(x)\) 的泰勒级数。若 \(C=0\) ,我们称\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(0)}}{n!}x^n\]为函数的麦克劳林级数。

例1:求 \(f(x)=e^x\) 的麦克劳林级数。

解:因为 \(f'(x)=e^x, f^{\prime\prime}(x)=e^x,\cdots,f^{(n)}(x)=e^x\),\(f^{(n)}(0)=1\),所以

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(0)}}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n\]

它的收敛半径 \(\displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}\Big/\frac{1}{(n+1)!}=\infty\),所以

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(0)}}{n!}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n,\quad x\in(-\infty,+\infty)\]

例2:求 \(f(x)=\sin x\) 的麦克劳林级数。

解:因为\( f'(x)=\cos x, f^{\prime\prime}(x)=-\sin x, f^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x, f^{(4)}(x)=\sin x, cdots\),依此进行,我们得到

\[f^{(4n)}=\sin x, f^{(4n+1)}(x)=\cos x, f^{(4n+2)}=-\sin x, f^{(4n+3)}(n)=-\cos x\]

所以 \[f(0)=0, f'(0)=1, f^{\prime\prime}(0)=0, f^{\prime\prime\prime}(x)=-1, f^{(4)}(0)=0, \cdots\]

\begin{align*}f^{(4n)}(0)=f^{(2(2n)}=0, f^{(4n+1)}(0)=f^{(2(2n)+1)}=(-1)^{2n}, \\ f^{(4n+2)}=0, f^{(4n+3)}(0)=f^{(2(2n+1)+1)}=(-1)^{2n+1}\end{align*}

用新的 \(n\) 代替 \(2n\),我们可以得到

\begin{align*}f(x)&=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\end{align*}

简单计算,可以得到它的收敛半径为 \(R=\infty\)。

例3:求 \(f(x)=\cos x\) 的麦克劳林级数。

解:因为 \(\cos x=(\sin x)’\),所以

\begin{align*}\cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\right)’=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\ &=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},\quad x\in(-\infty,\infty)\end{align*}

4,常用的基本级数:

(1)\(\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n,\quad x\in(-\infty,+\infty)\);

(2)\(\displaystyle \sin x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1},\quad x\in(-\infty,\infty)\);

(3)\(\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n},\quad x\in(-\infty,\infty)\);

(4)\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n, |x|<1\);

(5)\(\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n, |x|<1\);

(6)\(\displaystyle \ln(1-x)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n}, |x|<1\)。

5,其它的函数可以通过基本级数,利用变量代换,逐项求导或者逐项积分得到。