幂级数的收敛半径与收敛域

笔记下载:幂级数的收敛半径与收敛域

1,定理:幂级数 \(\displaystyle \sum a_n(x-C)^n\) 只有三种情况:

(1)级数只在 \(\displaystyle x=C\) 处收敛\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad R=0\)

(2)级数在所有 \(\displaystyle x\in R\) 处收敛\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad R=\infty\)

(3)\(\displaystyle |x-C|< R\) 处收敛,\(\displaystyle |x-C|> R\) 处发散

2,\(\displaystyle R\) 叫做收敛半径,若级数在\(\displaystyle (-\infty,\ +\infty)\) 上收敛,记为 \(\displaystyle R=\infty\)

所有收敛点的集合叫做收敛域

3,求收敛半径和收敛域

(1)\(\displaystyle R\) :比值判别法\(\displaystyle\quad |x-C|<?\)

(2)收敛域:考察端点处的敛散性(也叫收敛区间)

例1,求级数 \(\displaystyle \sum (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\) 的收敛半径和收敛域

解答:(1)记 \(\displaystyle u_n=(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\),

\begin{align*}\lim_{n\to\infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}|=\lim_{n\to\infty} |\frac{\frac{x^{n+1}}{n+1}}{\frac{x^n}{n}}|=\lim_{n\to\infty} |x|\cdot|\frac{n}{n+1}|=|x|\end{align*}

当 \(\displaystyle |x|<1\) 时收敛\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad\)收敛半径 \(\displaystyle R=1\)

(2)\(\displaystyle x=-1\) 时,

\(\displaystyle\qquad\sum (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}=\sum (-1)^{n-1}\cdot\frac{(-1)^n}{n}=-\sum {\frac{1}{n}}\) 发散

\(\displaystyle\qquad\ x=-1\) 时,由交错级数判别法,

\(\displaystyle\qquad\sum (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}=\sum (-1)^{n-1}\frac{1}{n}\) 收敛。

(3)所以收敛域为:\(\displaystyle (-1,\ 1]\)

例2,求级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n-1}}{(2n-1)!}\) 的收敛半径和收敛域。

解:这里 \(u_n=\frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n-1)!}\),所以

\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\left|\frac{(-1)^{n=1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\Big/\frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n-1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^2}{(2n+1)(2n)}\right|=0\]

所以\(R=\infty\),收敛敛域为 \((-\infty,\infty)\)。

例3:求级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^2}x^{2n-2}\) 的收敛半径与收敛域。

解:这里 \(u_n=\frac{2n-1}{2^n}x^{2n-2}\),所以

\begin{align*}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{2n+1}{2^{n+1}}x^{2n}\Big/\frac{2n-1}{2^n}x^{2n-2}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^2}{2}\cdot\frac{2n+1}{2n-1}\right|=\frac{|x^2|}{2}<1\end{align*}

所以 \(|x|<\sqrt2\),也就是说收敛半径为 \(R=\sqrt2\)。

当 \(x=\pm\sqrt2\) 时, \(\displaystyle u_n=\frac{2n-1}{2^n}(\pm\sqrt)^{2n-2}=\frac{2n-1}{2}\),而 \(\lim_{n\to \infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{2}=\infty\),级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) 发散。

所以级数的收敛域为 \((-\sqrt2,\sqrt2)\)。

4,如果级数的一般项的指数是 \(n\),也就是对级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n\) 来说, \(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n-1}}\right|\)。

证明:\(u_n=a_nx^n\),

\[\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x|<1\]

所以 \(|x|<\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\),也就是说 \(R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|\)。

例4:求级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n^2+1)3^n}x^n\)。

解:\begin{align*}R&=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{(n^2+1)3^n}\Big/\frac{1}{((n+1)^2+1)3^{n+1}}\right|\\ &\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)^2+1}{n^2+1}\cdot\frac{3^{n+1}}{3^n}\right|=3\end{align*}

所以级数的收敛半径为 \(R=3\)。