函数的幂级数展开

这一节我们讲述幂级数展开的方法,包括幂级数的变量代换、逐项求导与逐项积分。

笔记下载:函数的幂级数展开

1,和函数:幂级数若收敛,它的和就是一个函数,我们称之为幂级数的和函数。

2,幂级数的变量代换:若 \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n, |x|<R\]

则 \[f(g(x))=\sum_{n=0}^{\infty}a_ng^n(x), |g(x)|<R\]

我们已经知道,几何级数

\[\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}, |x|<1\]

利用变量代换及这个展开式,我们可以得到一些函数的展开式。

例1:\(\displaystyle\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n},\quad |x|<1\)。

例2:\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n},\quad |x|<1\)。

例3:\(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,\quad |x|<1\)。

例4:\(\displaystyle\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}}\)

它的收敛半径为

\[\left|-\frac{x}{2}\right|<1\quad \Rightarrow\quad |x|<2\]

所以 \[\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}},\quad |x|<2\]

3,定理(逐项求导与逐项积分):若级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a_0)^n\) 的收敛半径为 \(R\),则它的和函数 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a_0)^n\) 在区间 \((a_0-R, a_0+R)\) 上可微,并且

(1)\(\displaystyle f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}[a_n(x-a_0)^n]’=\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-a_0)^{n-1}\);

(2)\(\displaystyle\int f(x)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int a_n(x-a_0)^n dx= C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a_0)^{n+1}\),这里 \(C\) 根据函数在 \(a_0\) 处的值来确定。

这个定理的证明需要级数的一致收敛的概念及相关定理,这里我们略去。

这个定理说明,逐项求导与逐项积分不改变收敛半径。

例5:因为 \(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}=\left(\frac{1}{1-x}\right)’\),所以

\[\frac{1}{(1-x)^2}=\left(\frac{1}{1-x}\right)’=\sum_{n=0}^{\infty}(x^n)’=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}\]

它的收敛半径为 \(R=1\),收敛域为 \(|X|<1\)。这里 \(n\) 从 \(1\) 开始是因为原级数的第一项为常数,它的导数为 \(0\)。

例2:因为 \(\displaystyle\frac{1}{(1+x)^2}=-\left(\frac{1}{1+x}\right)’\),所以

\[\frac{1}{(1+x)^2}=-\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^nx^n)’=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nnx^{n-1}, \quad |x|<1\]

例7:因为 \(\displaystyle\ln (1+x)=\int\frac{1}{1+x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int(-1)^nx^ndx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}\)。

因为函数是在 \(x=0\) 处展开,而 \(\ln(1+0)=0\),所以 \(C=0\),所以

\[\ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}\]