三角级数与三角函数系的正交性

从这一节开始,我们考虑另一种特殊的函数项级数:三角级数。就是函数项级数的每一项都是正弦、余弦函数的级数。这一节我们主要讨论三角级数的定义以及三角函数的正交性。

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1,函数项级数:我们知道如果级数的每一项都是函数的级数,称为函数项级数\[\sum_{n=0}^{\infty}u(x)\]

2,三角级数:如果函数项级数的每一项为正弦函数或者余弦函数,

\[\sum_{n=0}^{\infty}u(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\sin (nx)+b_n\cos(nx))\]

这样的级数称为三角级数。

3,傅里叶级数(Fourier 级数):若一个周期为 \(2\pi\) 的函数 \(f(x)\) 可以展开成三角级数

\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx))\]

我们称这个级数为函数 \(f(x)\) 的傅里叶级数。这里

\[a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\]

4,三角函数的正交性:考虑 \([-\pi,\pi]\) 上的函数系 \[1,\cos x, \sin x,\cdots, \cos(nx),\sin(nx),\cdots\]

所谓正交性,是指任何两个不同的函数之积,在区间 \([-\pi,\pi]\) 上的积分为 \(0\)。也就是

\begin{align*}&\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=0\\&\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=0\\ &\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(mx)dx=0\\& \int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=0,\quad m\ne n\\ & \int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=0,\quad m\ne n\end{align*}

证明:前面两个等式,直接计算即可证明。后面三个,利用三角函数的积化和差公式,可以证明,这里略过。