高阶偏导数

我们知道,对于函数 \(z=f(x,y)\) 来说,它的偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\) 还是 \((x,y)\) 的二元函数,所以它们本身也可以求偏导数。偏导数再求导就是函数的二阶偏导数。对于阶偏导数再求导就是三阶偏导数,依此类推。

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对于二元函数来说,一阶偏导数有两个,它们又都是二元函数。所以,一般来说,二元函数的二阶偏导数有四个:

\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xx}=f_{11}\]

\[\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy}=f_{12}\]

\[\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yx}=f_{21}\]

\[\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yy}=f_{22}\]

最后两个等式,是二阶偏导数的其它两种常见的记号。这里需要注意的是,写成下标形式,左边的下标是先求导,右边的下标是后求导。而写成分式形式的二阶偏导数,分母左边的是后求导,右边是先求导。

两个二阶偏导数 \(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\) 称为混合二阶偏导数。

二阶偏导数或者高阶偏导数没有什么特别的求法,就是先求出一阶偏导数,再对一阶偏导数求偏导就行了。我们只看一个例子。

例1:设 \(f(x,y)=x\cos y+ye^x\),求它所有的二阶偏导数。

解:我们先求出一阶偏导数。

\[\frac{partial f}{\partial x}=\cos y+ye^x,\quad \frac{partial f}{\partial y}=-x\sin y+e^x\]

再来求二阶偏导数

\[\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=ye^x, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=-\sin y+e^x\]

\[\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-\sin y+e^x, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-x\cos y\]

上面这个例子,我们看到了两个混合偏导数是一样的。这不是偶然出现的情况,实际上,我们有下述的定理:

定理:若 \(f_x,f_y,f_{xy},f_{yx}\) 在某区域上连续,那么在该区域上 \(f_{xy}=f_{yx}\)。

这个定理我们这里就不证明了。

例如, \(f(x,y)=xy+\frac{e^y}{1+y^2}\) 在整个平面上连续,可导,偏导数都连续,二阶偏导数也连续,所以二阶混合偏导数是相等的。