曲面的切平面与法线

我们推导曲面在一点处的切平面与法线的方程。

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1,切平面:曲面在一点处的切平面,定义为所以过该点的曲线的切线的集合。

法线:定义为曲面过这一点的切平面的法线。

2,切平面方程:我们假设曲面由隐函数方程给出,\(F(x,y,z)=0\),任意一条过 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 点,位于曲面上的曲线具有参数方程 \(\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))\),那么这条曲线满足方程 \[F(x(t),y(t),z(t))=0\]

对此方程两边对 \(t\) 求导, 我们有

\[\frac{dF}{dt}=F_x\cdot\frac{dx}{dt}+F_y\cdot\frac{dy}{dt}+F_x\cdot\frac{dz}{dt}=0\]

上式可以写成 \[(F_x,F_y,F_z)\cdot(x'(t), y'(t), z'(t))=0,\quad \Longrightarrow\quad \nabla F\cdot \vec{r}'(t)==\],因为 \((x'(t), y'(t), z'(t))\) 是曲线的切线,这意味着 \(\nabla F\) 垂直于曲线的切线。因为曲线是任意的,所以 \(\nabla F\) 就是曲面的法向量。

由平面的点法式方程,我们就得到了曲面的切平面方程,

\[\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0\]也就是

\[F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0\]

法线方程为 \[\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}\]

3,显函数情形:如果曲面由显函数 \(z=f(x,y)\) 给出,那么可以 \(F(x,y,z)=f(x,y)-z\),所以法向量为 \((f_x,f_y,-1)\),所以切平面方程为 \[f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)-(z-z_0)=0\]

法线方程为 \[\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}\]

例1:求椭球面 \(x^2+4y^2+z^2=18\) 在点 \((1,2,1)\) 处的切平面与法线方程。

解:\(F(x,y,z)=x^2+4y^2+z^2-18=0\),所以 \[\nabla F=(2x,8y,2z), \quad \nabla F(1,2,1)=(2,16,2)\]所以切平面的方程为

\[2(x-1)+16(y-2)+2(z-1)=0\] 或者 \[(x-1)+8(y-2)+(z-1)=0, \quad x+8y+z=18\]

法线方程为 \[\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{8}=\frac{z-1}{1}\]

例2:求曲面 \(z=x^2y\) 在点 \((2,1,4)\) 处的切平面与法线方程。

解: \(f_x=2xy, f_y=x^2\),\(f_x(2,1)=4,f_y(2,1)=4\),所以切平面方程为

\[4(x-2)+4(y-1)-(z-4)=0,\quad\Longrightarrow\quad 4x+4y-z=8\]

法线方程为

\[\frac{x-2}{4}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-4}{-1}\]