方向导数与梯度

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曲面上每一个点,它有无数个方向,每一个方向都有自己的变化率。这就是我们方向导数的定义。

1,方向导数:设 \(\vec{u}=(a,b)=a\vec{i}+b\vec{j}, |\vec{u}=1\),我们定义函数 \(f(x,y)\) 在点 \(x_0,y_0)\) 处沿方向 \(\vec{u}\) 的方向导数为

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(\vec{x}_0+h\vec{u})-f(\vec{x}_0)}{h},\quad \vec{x_0}=(x_0,y_0)\]

2,计算: 对于方向导数的计算,我们有如下的定理。

定理:设 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微,则

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\cdot a+ f_y(x_0,y_0)\cdot b\]

证明:由方向导数的定义,

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}\]

令 \(g(h)=f(x_0+ah,y_0+bh)\),则 \(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah,y_0+bh)-f(x_0,y_0)}{h}=g'(0)\)。

如果令 \(x=x_0+ah, y=y_0+bh\),则

\begin{align*}g'(h)&=\frac{dg}{dh}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dh}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dh}\\ &=f_x(x_0+ah,y_0+bh)\cdot a+f_y(x_0+ah,y_0+bh)\cdot b\end{align*} 所以 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}(x_0,y_0)=g'(0)=f_x(x_0,y_0)\cdot a+ f_y(x_0,y_0)\cdot b\]

注1:如果是三元函数 \(f(x,y,z)\) 在方向 \(\vec{u}=(a,b,c)\) 上的方向导数为 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=f_x\cdot a+f_y\cdot b+f_z\cdot c\]

注2:我们要注意,方向导数定义里的 \(\vec{u}\) 是一个单位向量,如果不是单位向量,需要先换成单位向量,再来计算。

3,梯度:从方向导数的计算式里,如果我们使用向量的运算,我们发现 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=f_x\cdot a+f_y\cdot b=(f_x,f_y)\cdot (a,b)\]

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=f_x\cdot a+f_y\cdot b+f_z\cdot c=(f_x,f_y,f_z)\cdot (a,b,c)\]

我们记 \(\nabla f=(f_x,f_y)\) 或者 \(\nabla f= (f_x,f_y,f_z)\),称这函数的梯度。更多元的函数类似定义。梯度有时候也写成 \(\text{grad}f=\nabla=(f_x,f_y)\) 或者 \(\text{grad}f=\nabla=(f_x,f_y,f_z)\)。

有了梯度的定义以后,方向导数的计算可以写成 \[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\nabla f\cdot\vec{u}\]

4,由方向导数的计算式, 我们还有

\[[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\nabla f\cdot\vec{u}=|\nabla f||\vec{u}|\cos \theta=|\nabla f|\cos \theta\]从而我们得一结论:\(\vec{u}\) 是梯度方向时,函数增长最快, \(\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=|\nabla f|\);与梯度方向相反时,减少最快, \(\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=-|\nabla f|\)。

下面我们来看例题。

例1:设 \(f(x,y)=x^3+x^2y^3-2y^2\) 在点 \((1,1)\) 处沿方向 \(\vec{u}=(\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2})\) 的方向导数。

解:\(\nabla f=(3x^2+2xy^3, 3x^2y^2-4y)\),所以 \(\nabla f(1,1)=(5,-1)\),所以

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\nabla f\cdot \vec(u)=(5,-1)\cdot (\frac{1}{\sqrt2}, -\frac{1}{\sqrt2})=\frac{6}{\sqrt2}\]

例2:设 \(f(x,y,z)=x\sin(yz)\),求 \(f(x,y,z)\) 在点 \(1,3,0\) 处沿方向 \(\vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}-\vec{k}\) 上的方向导数。

解:因为 \(\vec{v}\) 不是单位向量,我们要将它单位化。因为 \(|\vec{v}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}\)

\[\vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=(\frac{1}{\sqrt6},\frac{2}{\sqrt6},-\frac{1}{\sqrt6})\]

\[\nabla f=(\sin(yz), xz\cos(yz),xy\cos(yz)),\quad \nabla f(1,3,0)=(0,0,3)\]

所以 \[\frac{\partial f}{\vec{u}}(1,3,0)=\nabla f(1,3,0)\cdot (\frac{1}{\sqrt6},\frac{2}{\sqrt6},-\frac{1}{\sqrt6})=-\frac{3}{\sqrt6}\]

例3:\(f(x,y)=xe^y\),(1)求函数在点 \(P(2,0)\) 处沿方向 \(P\) 到 \(Q(\frac{1}{2})\) 的变化率;(2)\(f(x,y)\) 在 \(P\) 点哪个方向增长最快?增长率是多少?

解:(1)因为 \(\vec{PQ}=(-\frac{3}{2},2)\),这个方向上的单位向量是 \[\vec{u}=\frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}=(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\]

梯度为 \[\nabla f=(e^y,xe^y),\quad \nabla f(2,0)=(1,2)\]所以方向导数为

\[\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\nabla(2,0)\cdot(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})=1\]

(2)增长最快的方向是梯度方向 \[\frac{\nabla f}{|\nabla f|}=\frac{1}{\sqrt5}(1,2)=(\frac{1}{\sqrt5},\frac{2}{\sqrt5})\]增长率为\(|\nabla f|=\sqrt5\)。