多元隐函数的偏导数

由一个方程或者方程组给出的变量之间的函数关系称为隐函数。这里我们给出多元隐函数的偏导数求法。

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我们在一元函数部分,隐函数求导是将方程两边对 \(x\) 求导,在求导过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数,从而求出 \(y\) 关于 \(x\) 的导数。对于多元函数,方法也是一样,只是导数变成了偏导数。

1,\(F(x,y)=0\)的情形,求 \(\frac{dy}{dx}\)。我们现在利用偏导数的方法来求。

将方程两边对 \(x\) 求偏导,在求导过程中,将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数。我们有\[\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}=0 \quad \Longrightarrow \quad F_x+F_y\frac{dy}{dx}=0\]解出 \(\frac{dy}{dx}\),我们得到 \[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\]

这里我们自然要求 \(F_y\ne 0\)。

2,\(F(x,y,z)=0\),求 \(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\)。

两边对 \(x\) 求偏导,我们有 \[F_x+F_z\frac{\partial z}{\partial x}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, F_z\ne0\]

两边对 \(y\) 求偏导,我们有 \[F_y+F_z\frac{\partial z}{\partial y}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}, F_z\ne0\]

例1:设 \(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\),求 \(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\)。

解:因为 \[F_x=2x, F_y=2y, F_z=2z\]所以 \[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{x}{z}\] \[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{y}{z}\]

例2:\(F(x,y,z)=x+2y+z-s\sqrt{xyz}=0\),求 \(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\)。

解:因为 \[F_x=1-\frac{yz}{\sqrt{xyz}}, F_y=2-\frac{xz}{\sqrt{xyz}}, F_z=1-\frac{xy}{\sqrt{xyz}}\]

所以

\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{1-\frac{yz}{\sqrt{xyz}}}{1-\frac{xy}{\sqrt{xyz}}}=-\frac{\sqrt{xyz}-yz}{\sqrt{xyz}-xy}\]

\[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{1-\frac{xz}{\sqrt{xyz}}}{1-\frac{xy}{\sqrt{xyz}}}=-\frac{\sqrt{xyz}-xz}{\sqrt{xyz}-xy}\]

我们将前面的结论总结叙述成一个定理。

3,定理(隐函数存在定理):若 \(F(x,y,z)\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处有连续偏导数且 \(F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0\),则在 \((x_0,y_0,z_0)\) 附近, \(F(x,y,z)=0\) 能确定唯一的函数 \(z=z(x,y)\) 且 \[\frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{F_x}{F_z}(x_0,y_0,z_0),\quad \frac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{F_y}{F_z}(x_0,y_0,z_0)\]

我们不去证明这个定理。

4,方程组的情形。\[\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}\]求 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\)。

我们对 \(x\) 求偏导,\[\begin{cases}F_x+F_u\frac{\partial u}{\partial x}+F_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ G_x+G_u\frac{\partial u}{\partial x}+G_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\end{cases}\]

对 \(y\) 求偏导,\[\begin{cases}F_y+F_u\frac{\partial u}{\partial y}+F_v\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ G_y+G_u\frac{\partial u}{\partial y}+G_v\frac{\partial v}{\partial y}=0\end{cases}\]

我们可以从这两个方程组里给出一般的公式,但这个公式一般不容易记忆,这里就不再推导它们的一般公式了。

在具体的求隐函数导数的时候,我们可以直接利用这两个公式,和线性代数里面求解方程组的方式,来求得那些偏导数。