多元函数的定义、极限与连续性

像一元函数一样,我们可以定义多元函数,以及它们的极限、连续等等。

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二元函数:如果对于平面区域 \(D\) 内任意一点\((x,y)\),都有一个实数 \(z=f(x,y)\) 与之对应,我们称 \(z=f(x,y)\) 为平面上的一个二元函数。这里的 \(D\) 称之为函数的定义域,而 \(z\) 的所有取值称为函数的值域。

所有点 \((x,y,z)\) 的集合称为函数 \(z=f(x,y)\) 的图形。

同理,我们可以定义三元函数、四元函数等等。

我们可以像一元函数一样,定义二元函数在一点处的极限。

定义:如果对任意 \(\epsilon>0\),存在 \(\delta>0\),使得当 \(|(x,y)-(x_0,y_0)|<\delta\) 时, 不等式 \(|f(x,y)-A|<\epsilon\) 成立,我们称 \(A\) 为函数 \(f(x,y)\) 当 \((x,y)\) 趋近于点 \((x_0,y_0)\) 时的极限,记为\[\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A\]

多元函数的极限与一元函数的极限具有相似的性质,例如:极限的唯一性,局部保号性等等。

这里有一些要注意的地方。我们回顾一下,在一元函数里,函数在一点处极限存在,充分必要条件是它的左右极限存在且相等。那是因为自变量趋于某个数,只有两个方向。但在多元函数里,自变量趋于某个点的方向或者方式有无限多种。如果极限存在,则所有这些方向的极限都是一样的。

由此,我们知道,如果证明极限不存在,我们只需要找出两个方向,它们的极限不相等。但是要证明极限存在,或者求某个极限,我们能用的方法并不多,除了定义以外,我们要么将极限化成一元函数的极限,要么利用夹挤原理,其它没有太多的方法,这与一元函数不同。

例1:求极限 \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4},\]如果它存在的话。

解:我们沿 \(y\) 轴趋于 \((0,0)\),也就是 \(x=0,y\to 0\),则 \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{{x=0}\atop{y\to0}}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=0\]

另外,如果我们沿 \(x=y^2\) 趋近于 \((0,0)\),那么

\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{{x=y^2}\atop{y\to0}}\frac{xy^2}{x^2+y^4}=\lim_{{x=y^2}\atop{y\to0}}\frac{y^4}{2y^4}=\frac{1}{2}\]

由此可知,沿这两个方向的极限不相等,从而原极限不存在。

例2:求极限 \(\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{x}\)。

解:我们有 \[\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{x}=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{xy}\cdot y=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{xy}\cdot \lim_{(x,y)\to(0,2)}y=2\]

这里我应用了一元函数里的两个重要极限之一 \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)。

例3:证明极限 \[\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\]存在。

证明:我们将证明 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0\)。因为 \[|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}|\le (x^2+y^2)\] 所以如果需要不等式 \[|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0|<\epsilon\]成立,则只需要 \((x^2+y^2)<\epsilon\) 即可。也就是只需要 \(\sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{\epsilon}\)。

所以我们取 \(\delta=\sqrt{\epsilon}\) ,则当 \(|(x,y)-(0,0)|=\sqrt{x^2+y^2}<\delta\)时,不等式\(|(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0|<\epsilon\) 成立。所以原极限为 \(0\),即\[\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0\]

像一元函数一样,我们可以定义函数在一点处的连续性。

定义2:若 \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)\),则我们称函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 连续。若函数在区域 \(D\) 上每一点都连续,则我们称函数 \(f(x,y)\) 为 \(D\) 上的连续函数。

对于多元连续连续函数,我们有与一元函数类似的性质。设 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(\bar{D}\)上连续,则

  • (有界性)\(f(x,y)\) 在 \(\bar{D}\) 上有界;
  • (最值定理)\(f(x,y)\) 在\(\bar{D}\) 内可以取到最大值与最小值;
  • (介值定理)对于介于最大值与最小值之间的任一值 \(c\),在\(\bar{D}\) 内存在一点 \(P\),使得 \(f(P)=c\)。