全微分与函数的近似值

我们知道,一元函数可微等价于可导。但是对于多元函数来说,可微的条件比可导要严格得多。

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对于一元函数来说,函数 \(y=f(x)\) 在一点 \(x_0\) 处可微,是指函数在这一点的增量等于自变量的增量的一个线性函数加上自变量增量的一个高阶无穷小,即

\[\Delta y=f(x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\]

那么,类似地我们定义多元函数在一点处可微为

定义:函数 \(z=f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可微是指 \[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\]其中 \(\rho=\sqrt{\Delta^2x+\Delta^2y}\)。

我们先来看,如果函数可微,它有什么必要条件。我们有

定理1:如果函数 \(z=f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处可微分,则

\[A=\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0)}, \quad B=\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(x_0,y_0)}\]

证明:因为 \[\Delta z=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)\]

令 \(\Delta y=0, \Delta x\to 0\),则 \[\frac{\Delta z}{\delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\]

两边取极限,则 \[\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0)}=\lim_{{\Delta x\to 0}\atop{\Delta y=0}}\frac{\Delta z}{\delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\]

同理,可证明 \(B=\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(x_0,y_0)}\)。证毕。

我们刚才得到的是函数可微的必要条件,那么什么时候函数是可微的呢?我们有下面的一个充分条件:

定理2:若 \(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 连续,则函数 \(f(x,y)\) 在点\((x_0,y_0)\) 可微。

这个定理证明不算太难但也稍微有点麻烦,我们不去证明它,有兴趣的同学可以参考相关教材。

有了上面的两个定理以后,我们就可以定义函数的全微分了。函数在一点处的全微分就是函数增量的线性部分。即

定义:我们定义 \(z=f(x,y)\) 的全微分为

\[df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\]或者\[dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy\]这里 \(dx=\Delta x, dy=\Delta y\)。

所以全微分与一元函数的微分公式类似,就是导数乘以自变量的增量。只是一元函数只有一项,二元函数有两项。类似的可以定义其它多元函数的全微分。它的计算也就比较简单了,只要求出了偏导数,全微分也就求出来了。

我们来看一个例子。

例1:求函数 \(z=x^2+y^2-2xy+3y\) 的全微分。

解:因为 \[f_x=2x-2y, f_y=2y-2x+3\]所以 \[dz=(2x-2y)dx+(2y-2x+3)dy\]

我们从函数可微的定义就可以看出,我们可以用函数的全微分来近似函数的增量,也就是说,我们可以用全微分来作函数的近似计算。

从可微的定义我们知道 \[f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_(x_0,y_0)(y-y_0)\]我们可以用这个公式来求函数在一点处的近似值。

例2:设 \(z=x^2+y^2-2xy+3y\),求 \(f(1.01,0.99)\) 的近似值。

解:因为 \[f_x=2x-2y, f_y=2y-2x+3\]

取 \((x_0,y_0)=(1,1)\),则 \(\f_x(1,1)=0, f_y(1,1)=3\),所以\[f(1.01,0.99)\approx f(1,1)+f_x(1,1)(1.01-1)+f_y(1,1)(0.99-1)=2.97\]