空间直角坐标系

如果要确定一个点在空间的位置,我们就需要空间中的一个坐标系。在空间中选定一点 \(O\),以及三个两两垂直的单位向量 \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\),按照右手系的顺序,就形成了空间中的一个坐标架。

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右手系的确定:我们将我们右手除拇指外的四个指头指向第一个向量,然后卷起来,不超过角度\(\pi\),指向第二个向量,然后拇指的指向就是第三个向量的正向。

坐标轴:三个向量 \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) 各自确定一条直线,我们把这三条直线分别称为 \(x,y,z\) 轴。换句话说, \(\vec{i}\) 就是 \(x\) 轴上的单位向量,它的指向是 \(x\) 轴的正向。\(y,z\) 轴的正向同样的定义。

坐标面:三个坐标轴确定了三个平面。\(x,y\) 轴所确定的平面称为 \(xOy\) 平面,或者简称为 \(xy\) 平面;\(x,z\) 轴所确定的平面为 \(xOz\) 平面,或 \(xz\) 平面;\(y,z\) 轴所确定的平面称为 \(yOz\) 平面或\(yz\)平面。这三个平面称为坐标面。

卦限: 三个坐标面将空间分成八个部分,我们称之为八个卦限。\(xOy\) 平面的上方,就是 \(z\ge 0 \) 的部分为一、二、三、四卦限,\(z\le 0 \) 的部分为五、六、七、八卦限,对应平面的四个象限。

向量的坐标表示:给定了空间直角坐标系以后,我们就可以用坐标来表示空间中的向量了。我们将向量的起点移到原点,以此向量为对角线,作一个长方体,此向量为长方体的对角线。以原点为起点的长方形的三个相邻边形成了三个向量,它们分别在 \(x,y,z\)轴上,从而分别平行于 \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) 三个向量。由向量的平行的性质,这三个向量可以分别用 \(x\vec{i},y\vec{j},z\vec{k}\) 来表示。

再由向量加法的定义, 我们知道向量 \(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\),我们称 \((x,y,z)\) 为向量 \(\vec{a}\) 的坐标。我们也可以用一个向量的坐标表示这个向量, \(\vec{a}=(x,y,z)\),称为这个向量的坐标表示式。

另外,\((x,y,z)\) 也可以表示空间中的一个点的坐标。因为每一个向量对应空间中的一个点,这个点就是这个向量的终点(向量的起点始终放在原点)。如果不特别指出,\((x,y,z)\) 可以表示空间中一个点,也可以表示空间中的一个向量,具体指的是什么,可以根据上下文进行判断。

有了坐标的向量表达式,我们可以将向量的线性运算用它的坐标来完成。设 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\),则

  • \(\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2, a_3+b_3)\);
  • \(\lambda\vec{a}=(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3)\);
  • \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\);
  • \(\vec{e}_{\vec{a}}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}(a_1,a_2,a_3)\)。

我们来看两个简单的例子。

例1:若 \(\vec{a}=(2,-3,6), \vec{b=(1,1,4)}\),求 \(|\vec{a}|, \vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}\)以及 \(3\vec{a}+4\vec{b}\)。

解:由坐标下向量的运算公式,我们有\[|\vec{a}|=\sqrt{4+9+36}=7\]

\[\vec{a}+\vec{b}=(2,-3,6)+(1,1,4)=(3,-2,10)\]

\[\vec{a}-\vec{b}=(2,-3,6)-(1,1,4)=(1,-4,2)\]

\[3\vec{a}+4\vec{b}=3(2,-3,6)+4(1,1,4)=(10,-5,34)\]

例2:求与向量 \(\vec{a}=(2,-3,6)\) 同向的单位向量。

解:\[\vec{e}_{\vec{a}}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{1}{7}(2,-3,6)=(\frac{2}{7},-\frac{3}{7},\frac{6}{7})\]