空间直线的方程

我们可以通过直线上的一点以及直线的方向来确定空间直线的方程,这就是直线 的点向式方程。

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假设空间直线 \(L\) 过点 \((x_0,y_0,z_0)\) 且与向量 \(\vec{s}=(a,b,c)\) 平行,那我们可以得到空间直线的点向式方程为

\[L: (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=t(a,b,c)\]或者 \[(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(a,b,c)\]

因为如果 \((x,y,z)\)是直线上任意一点,则向量 \((x-x_0,y-y_0,z-z_0)\)是直线上的一个向量,它与向量 \(\vec{s}=(a,b,c)\) 平行。由两向量平行的定义,我们知道这两个向量成比例 ,或者说它们只相差一个常数倍,即\[(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=t(a,b,c)\]

这就是空间直线的点向式方程。我们也可以写成另一种形式。如果我们写成分量的形式,就得到了空间直线的参数方程:

\[L:\begin{cases}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{cases}\]

在参数方程或者点向式方程里消去参数 \(t\),我们就得到了空间直线的对称式方程:

\[L:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\]

我们来看两个例子。

例1:设空间直线过点 \((-2,0,4)\) 且平行于向量 \(\vec{2\vec{i}+4\vec{j}-2\vec{k}}\),求直线的方程。

解:我们可以使用任意一种方程形式。这里我们写下三种形式的方程。

点向式方程:\(L: (x,y,z)=(-2,0,4)+t(2,4,-2)\);

参数方程:\(L: \begin{cases}x=-2+2t\\ y=4t\\ z=4-2t\end{cases}\);

对称式方程:\(L:\frac{x+2}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z-4}{-2}\)

例2:设直线过点 \(P=(-3,2,-3), Q=(1,1,-4)\),求此直线的方程及它与 \(xoy\) 平面 的交点。

解:此题没有给出方向向量,但给出了直线上的两点。我们知道,直线上两点组成的向量是平行于该向量的。所以方向向量可以通过两点给出。所以我们可以设方向向量为 \[\vec{s}=\vec{PQ}=(4,-1,-1)\]

所以直线的方程为 \[L: \frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{-1}\]这里我们选择的“点”是 \(P\),你也可以选择 \(Q\) 作为你的 “点”,事实上直线上任何一个已知的点都可以。

现在我们来求与 \(xoy\) 平面的交点。\(xoy\) 平面就是 \(z=0\),代入到上面的方程,我们有

\[\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{-1}=\frac{3}{-1}\]

解出 \(x,y\),我们得到 \(x=-15,y=5\),所以它与\(xoy\) 平面的交点就是 \((-15,5,0)\)。