空间曲线的参数方程

空间中的曲线,一般是用参数方程给出,当然也会有其它的表示方式。

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1,空间曲线的一般方程:一般来说,两个曲面的交线是空间曲线,这就是曲线的一般方程:

\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases}

例1,曲面 \(z=x^2+y^2\) 与曲面 \(z=4-x^2-y^2\) 的交线是什么?

解:等式 \[x^2+y^2=4-x^2-y^2\quad \Rightarrow\quad x^2+y^2=2, z=2\]所以是 \(z=2\) 平面上的一个圆 \(x^2+y^2=2\)。

2,空间曲线的参数方程:我们考虑质点在空间中的运行轨迹,在每个时刻 \(t\),质点在空间中的坐标为 \(x(t), y(t), z(t)\),那么在某个时段内,质点在空中是的运动轨迹就是一条空间曲线,可以用一个参数方程给出

\[\begin{cases}x=x(x)t\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases},\quad \alpha\le t \le \beta\]或者写成向量的形式

\[\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\]

例2:曲线 \(\vec{r}_(t)=(\sin t, \cos t), -\frac{\pi}{2}\le t \le \frac{\pi}{2}\) 与曲线 \(\vec{r}_2(t)=(t-1, sqrt{2t-t^2}), 0\le t\le 2\) 表示同一条曲线。因为

\[\vec{r}_1(-\frac{\pi}{2})=(-1, 0), \vec{r}_1(-\frac{\pi}{2})=(1, 0)\]它的起点在 \((-1, 0)\),终点在 \((1, 0)\),并且在直角坐标下 \[x^2+y^2=\sin^2t+\cos^2t=1\]它是单位圆的表示式, 这是一个半圆。因为起点在 \(-\frac{\pi}{2}\),终点在 \(\frac{\pi}{2}\),角度转动 \(\pi\)。

再看 \(\vec{r}_2(t)\),\[\vec{r}_2(-\frac{0)=(-1, 0), \vec{r}_2(2)=(1, 0)\]所以它与 \(\vec{r}_1(t)\) 的起点与终点都相同。再看它在直角坐标下的表达式:

\[x^2+y^2=(t-1)^2+(2t-t^2)=1\]它也是一个单位圆的表达式,从起点到终点是一个半圆。跟前面一样。所以这两条曲线是同一条曲线。

很多时候,我们需要将曲线的一般方程化成参数方程。将一般方程化成参数方程的方法也有很多种。这里我们举例说明将一般方程化成参数方程的方法。

例3:将曲线的一般方程化成参数方程:

\begin{cases}x^2+y+z=2\\ xy+z=1\end{cases}

解:我们将第一个方程减去第二个方程,消去 \(z\),得到\[x^2+y-xy=1\]我们令 \(x=t\), 则

\begin{align*}t^2+y-ty=1\quad &\Rightarrow\quad t^2+y(1-t)=1\\ &\Rightarrow \quad y=\frac{1-t^2}{1-t}=1+t\end{align*}

代入到第二个方程里去,我们得到 \(z=1-t^2-t\),所以曲线的参数方程为

\begin{cases}x=t\\ y=1+t\\ z=1-t^2-t\end{cases}

例4:将曲线的方程 \begin{cases}x+2y+4z=4\\ x^2+4y^2=4\end{cases} 参数化。

解:从第二个方程 \(x^2+4y^2=4\),我们可以令 \(x=2\cos t, y=\sin t\)(这是一个椭圆,这是标准的参数方程)。代入到第一个方程,我们得到 \[2\cos t+2\sin t+4z=4,\quad\Rightarrow\quad z=1-\frac{1}{2}\cos t-\frac{1}{2}\sin t\]

所以曲线的参数方程为 \begin{cases}x=2\cos t\\ y=\sin t\\ z=1-\frac{1}{2}\cos t-\frac{1}{2}\sin t\end{cases}