空间平面的方程

空间平面的方程,我们可以通过平面上的一点以及它的法向量确定,这就是平面 的点法式方程。

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假设平面 \(\Pi\)过点 \((x_0,y_0,z_0)\) 且垂直于向量 \(\vec{n}=(A,B,C)\),我们看一下如何推导出平面的方程。

我们知道平面的法向量是 \(\vec{n}=(A,B,C)\),那么平面上任何一个向量都垂直于法向量。现设平面上任意一点的坐标为 \((x,y,z)\),那么 这一点与已知一点\((x_0,y_0,z_0)\) 可确定一个平面上的向量 \((x-x_0,y-y_0,z-z_0)\),它与法向量垂直,根据向量垂直的充分必要条件是两向量的内积为零,所以

\[(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\cdot(A,B,C)=0\]

这就是平面的点法式方程。我们它展开后,就得到

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\]这也叫平面的点法式方程。

我们可以再把点法式方程展开,我们可以把平面的方程写成如下的形式:

\[Ax+by+Cz=D\]其中 \(D=Ax_0+By_0+Cz_0\),这种形式的方程就称为平面的一般式方程。

在一般式方程里,将两边除以 \(D\),就得到了平面的截距式方程

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\]这里 \(a,b,c\)就是平面在三个坐标轴上的截距。

对于平面方程的求法,我们只需要知道平面上的一点与它的法向量,就可以求出它的方程。但很多时候,这些信息不会直接给出,就需要我们来找到这些信息。我们来看一些求平面方程的例子。

例1:设平面过点 \((2,0,1)\) 且垂直于过两点 \((1,1,0)\) 和 \((4,-1,2)\)的直线,求该平面的方程。

解:我们已经知道平面上的一点。但没有直接给出法向量,但是平面垂直于一直线,很显然,这个直线的方向向量就可以作为平面的法向量。这条直线过两点,所以两点组成的向量就是直线 的方向向量。所以我们可以取

\[\vec{n}=(4,-1,2)-(1,1,0)=(3,-2,2)\]由平面的点法式方程,我们得到平面的方程为

\[3(x-2)-2y+2(z-1)=0\]

例2:某平面过点 \(P(1,3,2), Q(3,-1,6)\) 和 \(R(5,2,0)\),求该平面的方程。

解:我们知道三点可以确定两个向量,这两个向量都在平面上。那么平面的法向量怎么求?

我们知道两个向量的叉积同时垂直于这两个向量,所以如果知道平面上的两个向量,那么对这两个向量作叉积,就可以得到平面的法向量了。

我们有\[\vec{PQ}=(2,-4,4), \vec{PR}=(4,-1,-2)\]所以平面的法向量可以取

\[\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&-4&4\\ 4&-1&-2\end{vmatrix}=(12,20,14)\]所以平面的方程为

\[12(x-1)+20(y-3)+14(z-2)=0\]整理一下,方程可写成\[6(x-1)+10(y-3)+7(z-2)=0\]

在最后,我们定义两平面的夹角。两平面之间的夹角定义为它们法向量之间的夹角。即\[\cos\theta=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\]